La revue trimestrielle canadienne, 1 janvier 1943, Juin

29ème année No 114 JV râ£Â *v.t.\ ¦¦¦Hïn'is MONTRÉAL juin 1943 asm Revue Trimestrielle Canadienne Art de l’ingénieur—Economie politique et sociale—Mathématiques Législation—Histoire—Statistique—Architecture —Sciences Hygiène—Industrie—Forêts—Finances—Transports.SOMMAIRE Pages 113— I.La Valeur des Géométries non-euclidiennes.Thomas GREENWOOD 132 — II.Chauffage des Habitations.Huet massue 155 — III.Les Mathématiques et la Courbe de Transition routière pratique.C.-E.LAMARCHE 165 — IV.La Géologie, matière d’Enseignement supérieur.Maurice DANLOUX- DUMESNILS 197 — V.Équation généralisée de Combustion.Boieslaw SZCZENIOWSKI 210 — VI.Étude analytique et graphique de la Poutre continue (suite).René FORTIN 225— VII.Revue des Livres.ASSOCIATION DES DIPLÔMÉS DE POLYTECHNIQUE MONTRÉAL I O.M.i., /'¦ . COMITÉ DE DIRECTION Président: Monseigneur Olivier Maurault, P.S.S., recteur de l’Université de Montréal.Membres: MM.Augustin Frigon, président de la Corporation de l’École Polytechnique.Armand Circé, directeur de l’École Polytechnique Victor Doré, surintendant de l’Instruction publique.L’hon.Léon-Mercier Gouin, professeur à l’Université de Montréal.Théo.-J.Lafrenière, professeur à l’École Polytechnique.Olivier Lefebvre, vice-président, Commission des Eaux courantes.Édouard Montpetit, secrétaire général de l’Université de Montréal.Antonio Perrault, professeur à l’Université de Montréal.Arthur Surveyer, ingénieur conseil.Ivan-E.Vallée, sous-ministre, département des Travaux publics de la province de Québec.Lorenzo Brunotto, bibliothécaire de l’École Polytechnique.Henri Gaudefroy, secrétaire de l’Association des Diplômés de Polytechnique.COMITÉ D’ADMINISTRATION ET DE RÉDACTION Président: Arthur Surveyer Membres: Mgr Olivier Maurault, MM.Édouard Montpetit, Augustin Frigon, Théo.-J.Lafrenière, Antonio Perrault, Olivier Lefebvre, Hon.Léon-Mercier Gouin Rédacteur en chef: Édouard Montpetit Secrétaire: Armand Circé Trésorier.Lorenzo Brunotto PRIX DE L’ABONNEMENT ANNUEL Le Canada et les États-Unis $3.00 — Le numéro .75 cents Tous les autres pays $4.00 — Le numéro $1.00 La Revue Trimestrielle Canadienne parait quatre fois l’an: en mars, juin, septembre décembre.La Revue est accessible à la collaboration de tous les publicistes, spécialistes et hommes de profession: mais la Direction n’entend pas par l’insertion des articles assumer la responsabilité des idées émises.Tous les articles insérés donnent droit à une indemnité calculée par page de texte imprimée ou de graphiques.Les manuscrits ne seront pas rendus.La reproduction des articles publiés par la Revue est autorisée, à la condition de citer a source d’où ces articles proviennent et de faire tenir un exemplaire à la Revue.Il sera rendu compte de tout ouvrage dont il aura été envoyé un exemplaire à la Rédaction.Adresser toute communication pour les abonnements, publicité, collaboration, etc.directement à — La Revue Trimestrielle Canadienne LAncaster 9208 1430, rue Saint-Denis MONTRÉAL KKvn-: thimi-:stuii-:i.i.i-; i waoikwk HOMMAGES ! DkITIS un demi-siècle déjà, nos efforts ont contribué d'une façon non équivoque au progrès économique et industriel du (Québec.Vous profitons, aujourd'hui, de l’occasion qui nous est offerte pour donner notre appui à la Huvrr.Tifi.MKsTHiuu.i: ('axaihk.wk et rendre hommage à ses collaborateurs, dont les articles aident à faire connaître le développement intellectuel et scientifique du ( 'anada français.SHAWINIGAN WATER & POWER II H K V r K TH IM K.- I' l( 11 : U.K C A \ A I >11 : X x b Avec les compliments ae MARINE INDUSTRIES LIMITED ET DE SOREL INDUSTRIES LIMITED A ? HEYV K TH IM I >TK IKLI.K CA X A I) 11 i \ X I ; in UN PRODUIT VOLCANO LE FOYER MÉCANIQUE VOLCANO est le plus économique en temps de guerre.Modèle pour petits édifices, appartements, magasins, bureaux, etc.Il devient difficile de suffire à la demande accrue de foyers mécaniques Volcano.Si vous adoptez le chauffage au charbon, à cause des conditions actuelles, consultez-nous sans retard.Volcano est automatique, économique, élimine la fumée et les gaz.Nos ingénieurs examineront votre système de chauffage.Devis et estimés vous seront fournis gratuitement.Bureau chef: 1106, Côte Beaver Hall • Montréal • Plat: 8531 * Agences dans les principales villes du pays VOLCANOLIMITÊE FABRICANTS DE FOYERS MÉCANIQUES VOLCANO CHAUDIERES À VAPEUR FOURNAISES, RÉCHAUDS.ETC. IV REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE Appareils -de= Laboratoire I PRIX MODÉRÉS et LIVRAISON PROMPTE Nous avons toujours en magasin un assortiment complet d’appareils de laboratoire pour l’ensen gnement des sciences.Une commande initiale vous convaincra de la haute qualité de notre marchandise.Fisher Scientific Company Limited I 904-910, rue Saint-Jacques MONTRÉAL REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE ¦¦^U Diversité de Montréal École POLYTECHNIQUE Ecole d'ingénieurs — Fondée en 1873 Le programme d'études prévoit la formation générale dans toutes les branches du Génie et l'orientation dans les quatre spécialités suivantes : Mécanique-Electricité Travaux Publics-Batiments Mines-Métallurgie Chimie industrielle Les élèves reçoivent à la fin du cours les diplômes d'ingénieur et ce Bachelier ès Sciences appliquées avec mention de l'option choisie.LABORATOIRES D’ANALYSES, DE RECHERCHES ET D’ESSAIS, LABORATOIRE PROVINCIAL DES MINES.• Prospectus et Renseignements sur demande.1430, RUE SAINT-DENIS — MONTREAL REVUE TRIMESTRIELLE CANA UI EN NE SECRÉTARIAT DE LA PROVINCE École des Hautes Études Commerciales Affiliée à l'Université de Montréal Préparant aux situations supérieures du commerce, de l’industrie et de la finance Bibliothèque économique.Musée commercial et industriel Décerne les diplômes de bachelier en sciences commerciales, licencié en sciences commerciales, de docteur en sciences commerciales et licencié en sciences comptables.Ce dernier diplôme donne droit d’admission dans l’Association des comptables agréés de la province de Québec (C.A.), l'Institut des comptables et auditeurs de la province de Quebec (L.I.C.) et la Corporation des comptables publics de la province de Québec (C.P.A.) BOURSES DU GOUVERNEMENT Cours spéciaux réservés aux avocats, aux notaires et aux ingénieurs.COL RS LIBRES DU SOIR: comptabilité théorique et pratique, opérations de banque, opérations d’assurance, correspondance anglaise et française, mathématiques financières, économie politique, droit civil, droit commercial, langues étrangères: italien, espagnol, allemand.Cours spéciaux préparatoires à la licence en sciences comptables.COURS PAR CORRESPONDANCE: comptabilité, français et anglais commercial, économie politique, droit civil, droit commercial, algèbre, etc.Pour tous renseignements, brochures, prospectus, inscriptions, etc., s'adresser au directeur.535, avenue Viger, Montréal ni; vr i: i him i> i ki i:u.k < an a m knnk vii âomme, f Cn Qu eàt-ce que l’Éclairage Fluorescent ?-N l.'(frdonnance i! \dmi-nistrateur no \-40| de la ( iommission des !’ri\ el du Commerce en temps de iiuerre.limite la fabrication el la 'ente des accessoires elect rii| ties d'éclairage pour fins commerciales ou inilus-t rii Iles.I Ians la plupart ties cas il faut obtenir île (’administrateur un permis écrit, pour employer les appareils il 'éclairalie fluorescent.De plus, i! faut liénéralemen l îles certificats de priorité.Pour de plu informai ions le humau ( -d .rapproché.s amples consulte/ I le plus J i \ pp r • (l’est non seulement la plus récente découverte au domaine «le la lumière, mais c’est aussi un des plus ürands progrès de son histoire.On n’eût jamais espéré trouver une source de lumière si parfaite, nisi ahondati te.• Avec la nouvelle ampoule fluorescente Mazda on peut maintenant utiliser la “clarté du jour’’ 2J heures par jour, ci* qui est d'une valeur inestimable dans les ateliers où l'on s’occupe de travaux de précision et de mon tuiles délicats.• Ne créant ni chaleur, ni éblouissement ni ombre l'éclairage fluorescent ne ressemble à aucun autre.II donne plus de confort à l’ouvrier, rend la climatisation plus simple, diminue la fatigue des yeux et des nerfs, accélère l.i production en aidant la \ ue.• I ’ampoule fluorescente Mazda est de beaucoup la source de lumière la plus efficace jamais inventée.Cette ampoule est un tube de verre à l’intérieur duquel un enduit fluorescent transforme de l’ultraviolet en radiations visibles.On obtient ainsi, à une efficacité inconnue jusqu’ici, une lumière semblable à la clarté du jour.• I 'ampoule fluorescente Kdfson Mazda auilmcnte la production de nombreuses usines île iluerre.Klie diminue le tiaspillaiie.élimine les erreurs, prévient les accidents, lia il ne des milliers d’heures île travail à l’industrie île iiuerre.• I.’ampoule fluorescente l'.dison Mazda se place au premier rang parce qu’elle a l’avantaile de posséder les fruits îles “recherches’’ Mazda et ceux d’une lomlm* expérience dans la fabrication des ampoules él«*ctri«|lies.ÉCLAIRAGE FLUORESCENT GENERAL % ELECTRIC Mai IM o GENERAL ELECTRIC CO VIII REVUE TRIM ESTE I ELI K CANADIENNE COMPANY LIMITED Conâtxucteuxâ en aciex DOMINION BRIDGE COMPANY LIMITED SIEGE SOCIAL: LACHINE 'MONTREAL.I P.Q.Bureaux de Succursales et Usines : OTTAWA - TORONTO - WINNIPEG - CALCARY - VANCOUVER Agences : RECINA - EDMONTON Revue Trimestrielle Canadienne MONTRÉAL JUIN 1943 LA VALEUR DES GÉOMÉTRIES NON-EUCLIDIENNES L'interprétation des géométries non-cuclidionnes peut se faire à un triple point de vue: historique, mathématique et philosophique.Il va sans dire que leur explication mathématique peut se faire indépendamment de leur histoire et de leur philosophie.En d’autre part, même si leur histoire requiert une certaine connaissance de leur technique, elle n’exige aucunement leur exégèse critériologique.Mais on ne saurait tenter de se prononcer en conscience sur leur portée philosophique, sans être au courant de leurs méthodes et leurs résultats, autant que possible dans leur développement historique.En se familiarisant avec ces théories nouvelles, on y discernera des distinctions qui conditionneront de justes jugements; et l'on évitera en particulier deux erreurs courantes.La première est de nier a priori toute objectivité propre aux géométries non-euclidiennes, ou encore de leur refuser sans examen un fondement spatial autre que celui d’Euclide.La seconde est de confondre ces systèmes avec la métagéométrie, qui désigne communément l’étude des espaces à plusieurs dimensions.Or, l’analyse rie l’élaboration de ces géométries va nous montrer que chacune d’elles offre des déterminations légitimes à notre intuition habituelle de l’espace, considéré comme un milieu amorphe et même homogène, continu et isotrope.Elle nous apprendra aussi, par conséquent, que chacune de ces géométries se développe selon une, deux ou trois dimensions, en différant des autres par la forme spécifique de son étalon dimensionnel.C’est sur ces bases que nous aurons alors à tirer des conclusions philosophiques.( 'es considérations délimitent aussi l’objet de notre enquête.Les géométries non-euclidiennes que nous étudierons sont celles 13 4 RKVVF.TRIMESTRIELLE CANADIENNE de Lobatchefski et de Riemann, dont les droites respectives sont spécifiées par des postulats contraires à ceux de la droite euclidienne.Il est vrai que dans un sens large, on pourrait appeler non-euclidiennes toutes les géométries qui nient l'un ou l'autre des postulats impliqués dans le système d’Euclide.Comme celui-ci comporte la tridimensionalité de l’espace et l’axiome d'Archimède relatif à la continuité, on y pourrait faire rentrer alors la géométrie des hyperespaces et la géométrie non-arehimédienne.Mais il vaut mieux restreindre les géométries non-euclidiennes aux deux systèmes mentionnés, avec leurs extensions analytiques et projectives, en conformité avec les habitudes de l’histoire.I.— Elaboration des nouveaux systèmes Les géométries non-euclidiennes sont nées des scrupules irréductibles de certains mathématiciens de génie, au sujet du postulat euclidien des parallèles.Ces soucis s’accumulaient pendant des siècles, depuis qu’Euclide avait proposé au début de ses Éléments une série de postulats caractérisant la ligne droite.Averti des idées de Platon et d’Aristote sur la structure des mathématiques, le savant alexandrin sut perfectionner les manuels qui avaient servi à l'Académie et au Lycée, et arriver la composition de cet immortel ouvrage qui a gravé définitivement les traits de la géométrie classique.Pour faire jouer pleinement dans sa synthèse cette droite immatérielle saisie d’emblée par l'abstraction simplificatrice des Crées, Euclide a jugé nécessaire de lui reconnaître comme postulats certaines propriétés d'inégale valeur.Parmi celles-ci, deux ont une importance capitale: l'une demande qu’entre deux points on ne puisse mener qu’une seule droite; l'autre veut que si une droite fait avec deux autres droites coplanaires deux angles intérieurs et d'un même côté moindres que deux droits, ces deux droites finissent par se rencontrer de ce côté, si elles sont suffisamment prolongées.C’est cette dernière propriété qui est connue sous le nom de Postulat des Parallèles, bien qu’il n’y soit pas question de parallèles, du fait de son équivalence avec cette autre propriété de l'euclidienne, à savoir que par un point pris hors d’une droite d'un plan on ne peut mener qu’une seule parallèle à cette droite.Or cette équivalence va nous expliquer l’inquiétude des mathématiciens à l’égard de la valeur de ce postulat. LA VALEUR DEP GÉOMÉTRIES NON-EUCLIDIENNES 115 Kn effet, l'énoncé d’Euclide ne donne pas l’impression que ce postulat est vraiment primitif, ou même qu’il est aussi intuitif que les autres postulats et axiomes posés au début de son système.Aussi, dans l’espoir d'éliminer cette impression, des mathématiciens se sont efforcés depuis l’antiquité à en trouver une démonstration qui le réduirait à un théorème.Parmi les Grecs, Posidonius, Geininus, Ptolémée et Proclus ont vainement essayé de résoudre cette question.Parmi les Arabes, Al-Nirizi et Nasir-Eddin comptent parmi les plus connus: la construction de Nasir-Eddin, dont nous nous sommes servis nous-mêmes dans notre axiomatique, est parmi les plus originales.Enfin au début des temps modernes, C'ommandino, Clavius, C'ataldi, Horelli, Vitale et Wallis, se sont fait remarquer par leurs essais.En fait, tous les savants qui ont édité ou commenté les Éléments d’Euciide, ont fait des considérations plus ou moins importantes sur le postulat des parallèles et ses difficultés.("est en essayant de démontrer ce postulat, que ces mathématiciens ont été amenés :\ lui trouver des équivalents, mais sans parvenir à les éliminer tous dans un même système.Parmi ces équivalents, on peut citer l’équidistance des droites parallèles, l’égalité des trois angles d'un triangle à deux droits, l'unicité de la parallèle à une droite par un point hors de celle-ci, ou encore la possibilité de figures semblables.Il est facile de vérifier soi-même ces équivalences en s'y prenant de la façon suivante: on dresse une liste des propriétés essentielles des parallèles avec leurs converses, on adopte une définition constructive des parallèles, puis on essaye de démontrer ces propriétés sans faire appel â quelque autre propriété explicite ou implicite des parallèles prise comme postulat.On s’apercevra bien vile (pie l'on tombe toujours sur une proposition indémontrable des parallèles, quels que soient l'ordre ou les constructions utilisées dans les démonstrations.Hâtons-nous de dire, cependant, que l'indémontrabilité du postulat des parallèles n'est pas un effet de l'insuccès de ces essais: on doit la rechercher dans les arguments plus décisifs de l'analyse et de l'axiomatique, arguments qui n’ont d’ailleurs été trouvés que bien après la découverte des géométries non-euclidiennes.Noue ferons remarquer d'autre part, (pie la démonstration cherchée du postulat d'Euciide, a toujours consisté à le ramener au postulat de la droite unique (entre deux points on ne peut faire passer qu'une seule droite), sans faire appel bien entendu à quelque équivalent I IK V i; K TIU M I> T RI K [ • I.K C A N A I ) I K \ V K 111) du postulat dos parallèles.Personne n'avait encore pensé réduire ces deux postulats en même temps, comme nous avons essayé de le faire, quelque principe spécifique plus fondamental de l’euclidienne.("est qu'on était parti de la fausse illusion que le postulat de la droite unique était évident, tandis que celui îles parallèles ne l’était pas.Et pourtant, même le postulat de la droite unique n’est pas nécessaire en soi, puisqu'il n’est pas de mise en géométrie riemannienno.En attendant, l'insuccès des essais d'une démonstration directe du postulat d'Euclido, a fait chercher à certains une preuve par l’absurde: fait intéressant, c'est l'inexistence de toute absurdité dans les contraires du postulat, des parallèles, qui a mené à la découverte des géométries non-euclidiennes.Mais le jésuite Saeeheri était encore loin de cette découverte, en 1 “33, quand il développa des hypothèses contraires à celles d’Euclido.il construisit un quadrilatère ayant deux angles droits à la base, et démontra facilement que les deux autres angles étaient égaux.Il s'attacha ensuite à prouver que ces deux autres angles étaient également droits, parce qu'ils ne devaient être ni obtus, ni aigus.Mais s'il ne lui fut pas difficile d’éliminer l'hypothèse des angles obtus, il ne put guère se débarrasser de celle des angles aigus: les conséquences qu’il obtenait étaient certainement différentes de celles d'Euclido, mais elles ne manifestaient pas de contradictions internes.Saeeheri parvint donc à découvrir une série de théorèmes lobatchefskiens, mais sans savoir qu'il avait à faire à une nouvelle géométrie, et tout en affirmant que la complexité de ces théorèmes devaient impliquer quelque part une contradiction.Mais cette contradiction «'existait pas, comme on devait bientôt le voir.Entretemps, Lambert, Legendre et d'autres firent de nouvelles tentatives en prenant des angles d’approches originaux, mais aussi sans succès.D’Alembert tit cette importante suggestion qu’une bonne définition de la droite permettrait d’éviter d'encombrants postulats.Et Laplace, reprenant une idée de Wallis, affirma que l'hypothèse d'Euelide était équivalente à la possibilité de figures semblables.La considération de ce genre de travaux fit enfin penser à Gauss, après 1 s 12.à construire* une géométrie différente de celle d’Euelide.Il s’y consacra avec dilligence, et obtint des résultats remarquables auxquels il donna le nom de géométrie anti-euclidienne d'abord, puis de géométrie astrale, à la manière de Schweikart, enfin de géométrie non-euclidienne. I.A VALEUR DES GÉOMÉTRIES NON-EUCLIDIENNES 117 Mais il nous révèle dans sa correspondance, qu’effrayé « des clameurs des Béotiens » il garda ses recherches pour lui et pour quelques amis, n'osant pas encore les rendre publiques.Telle était la situation, quand Lobatchekski et Bolyai publièrent leurs découvertes indépendamment l’un de l'autre.bobatchefski avait directement pensé à une géométrie entièrement indépendante du postulat d'Euclide dès 1823: c'est à cette science plus générale qu'il donna le nom de géométrie imaginaire ou de pan-géométrie.De même, Jean Bolyai était arrivé dès 1825, à des résultats semblables, en cherchant à construire spécifiquement une science absolue de l'espace.Il entendait par là une synthèse de toutes les propositions de la géométrie formellement indépendantes du postulat d'Euclide, en considérant ces propositions comme « absolument vraies » et donc formant partie de cette science absolue de l'espace, ( "est là une attitude différente de celle de Lobatehefski, qui avait construit une géométrie sur la négation même du postulat d’Euclide.Mais les résultats étaient les mêmes, comme cela se devait; et cette communauté de réalisations se remarque aussi par les préoccupations analytiques des deux mathématiciens, qui donnèrent beaucoup d’attention à l’expression trigo-nométrique de leurs découvertes.< "est ainsi que Lobatehefski définit le parallélisme, à la manière de Gauss, en posant l'existence de deux droites distinctes partant d’un même point hors d'une même droite coplanaire, et ne coupant pas cette dernière.Comme Saccheri l'avait déjà montré, ces deux droites se rapprochent de la troisième comme d’une asymptote.C'est une idée analogue qu'exprime la définition de Bolyai, qui considère la parallèle à une droite comme la position-limite d’une sécante à cette droite quand cette dernière finit par devenir asymptotique.En menant une perpendiculaire du point commun aux deux parallèles ainsi définies jusqu'à la troisième droite, on donne le nom d'angle de parallélisme à l'angle aigu formé par cette perpendiculaire et les deux parallèles.La valeur de cet angle peut être également déduite de la géométrie logantlnno-sphérigue de Taurinus, un des prédécesseurs immédiats de la nouvelle science.Plusieurs théorèmes intéressants découlent de ce genre de considérations.L'un veut que la somme des angles intérieurs d’un triangle soit moindre (pie deux droits.En autre dit que cette somme diminue à mesure que Paire du triangle augmente.Voici encore la relation des sinus de Bolyai, d’après laquelle les sinus des angles ] IS BEVUE trimestrielle canadienne dun triangle rectiligne sont entre eux comme les circonférences dont les rayons sont égaux aux côtés opposés à ces angles Notons aussi qu afin de pouvoir construire les formules trigonométriques de sa géométrie imaginaire, Lobatchefski inventa deux nouvelles figures: le cercle de rayon infini ou horoeycle et la sphère de ravon infini ou horosphère.Il put alors prouver que la géométrie euclidienne convient parfaitement à l'horosphère.De même Holvai avait imaginé à côté de la sphère, la parasphère correspondant à 1 horosphère, et l hypers/,hère ou surface équidistante d’un plan.La trigonométrie sphérique convient à la sphère, la trigonométrie plane se représente sur la parasphère, et la trigonométrie non-euclidienne se développe sur Phvpersphère.La parasphère est la surface limite qu on rencontre en passant des surfaces hvper-sphériques aux sphères.' Lest Riemann qui reconnut en 1S34 que la géométrie sphérique est elle-même une sorte de géométrie nôn-euclidienne Dans celle-ci cependant, il n’est guère possible d’avoir des parallèles, car toutes les droites doivent se rencontrer.Cette situation exige des postulats différents de ceux d’Euelide: ainsi (1) deux points déterminent au moins une droite; (2) une droite est illimitée, tout en ayant une longueur finie.Parmi les théorèmes intéressants de cette géométrie, on peut en signaler ceux-ci: la somme des angles intérieurs d un triangle est plus grande que deux droits; toutes les droites perpendiculaires à une même droite passent par un point commun; 1 aire d’un triangle est proportionnelle à l’excédent de la somme de ses angles sur ceux droits.Un voit ainsi que la géométrie de Riemann correspond à l’hypothèse de l’angle obtus envisagée par baccheri et rejetée par lui comme impossible.Mais nous montrerons tout à l'heure que l’esprit des travaux de Riemann va bien plus loin que la justification de cette hypothèse.En attendant, il est facile de comprendre l’impression que purent causer ces conceptions et ces résultats.Tels qu’ils étaient proposés alors, ils semblaient exiger pour notre intuition spatiale habituelle de s’adapter également à trois groupes incompatibles de postulats.Il parait même que Lobatchefski et Bolyai furent frappés à un tel point de la nouveauté de leurs travaux, qu’ils avaient craint à un moment de trouver quelque contradiction en poussant assez loin leurs recherches, ce qui les aurait obligés par raisonnement régressif, de renoncer à leurs hypothèses.C’est que leur intuition spatiale restait encore euclidienne.Certes, ils 119 LA VALEUR DES GÉOMÉTRIES NON-EUCLIDIENNES nous parlent d’horosphères et d'hypersphères; et Gauss et Taurinus avaient pensé il des trigonométries sur des surfaces particulières.Mais le traitement axiomatique, synthétique et trigonométrique de leur problème avait encore un caractère élémentaire, et par conséquent fort incomplet.Et comme les travaux modernes d’initiation aux géométries nouvelles s’arrêtent d’habitude aux résultats de ces premiers travaux, ils laissent souvent l’impression que les systèmes non-euclidiens se développent malgré tout dans un monde spatial euclidien, ou mieux encore, que ces systèmes exigent l’abandon de notre intuition habituelle de l’espace à trois dimensions.Tel n’est pourtant pas le cas.Mais pour comprendre les distinctions qui s'imposent ici, on doit pénétrer dans les domaines plus élevés de la géométrie différentielle et de la géométrie projective.II.— La théorie des surfaces La géométrie différentielle, à laquelle les travaux de Riemann en particulier ont ouvert de grands horizons, emploie des considérations infinitésimales dans ses méthodes.Dans le cas qui nous occupe, notre point de départ peut s’exprimer au moyen du problème suivant: étant donnée une surface quelconque, déterminer jusqu’à quel point on peut construire sur elle une géométrie analogue à celle du plan.< )n voit de suite que nous nous trouvons dans un domaine très général, et que nous devrons utiliser par conséquent des notions également générales.Parmi celles-ci, une des plus fondamentales est celle de gêorlêsique, qui se définit comme la ligne de moindre distance entre deux points.Il est facile de se rendre compte que la géodésique est une euclidienne si elle se trouve sur un plan euclidien, et qu’elle est un arc de grand cercle si on la considère sur une surface sphérique.Pour pouvoir comparer des géométries sur des surfaces différentes, il est naturel de faire correspondre en général des géodé-siques à des droites.Deux figures sont alors géodésiquement égales, lorsqu’on peut établir une correspondance Inunivoque entre leurs points homologues.On peut se représenter ce genre d'égalité, en envisageant des surfaces flexibles mais non-extensibles et sans déchirures: on remarquera facilement, par exemple, que la géométrie d’une surface cylindrique correspond en grande partie à la géométrie du plan.Par contre, la géométrie de la surface d’une 120 H K vr I ; TU IM K>THI Kl.u; ('A N A DI K N x i : sphère est bien différente de celle du plan, bien que ces deux systèmes aient entre eux de grandes analogies, par rapport à la congruence en particulier.On dira ainsi qu’une surface cylindrique est développable, tandis qu'une surface sphérique ne l'est pas.Kn généralisant ces idées, on obtient la notion de courbure, qui est due à Clauss.On trouve, en effet, que pour qu'une surface limitée puisse se mouvoir sur elle-même par simple flexion, il faut qu’un certain nombre (K) conserve une valeur constante à tous les points de l'espace, tout en restant invariant par rapport à cette flexion.Il est alors aisé de voir que A’ peut être égal, inférieur ou supérieur à zéro.Dan.' le premier cas, on obtient une géométrie euclidienne, avec la droite se mouvant dans le plan selon les postulats classiques.Dans le second cas, la géométrie est lobatchefs-kienne: et la surface où elle évolue est la psewlurphi rc, qui est engendrée par une tract rice tournant autour de son axe.Dans le troisième cas, on forme une géométrie riemannienne; et la surface qui lui sert de modèle peut être sphérique ou e " ‘ i.Pour être plus précis, Gauss a prouvé que la courbure totale pour un triangle ABC formé par des arcs géodésiques sur une surface d’aire .S est donnée par l'intégrale double: Kn donnant toutes les valeurs possibles à la constante (A’), on voit que pour (K) = o la somme des angles du triangle est égale à deux droits: et que si iA’> est plus petit ou plus grand que zéro, cette somme est moindre ou plus grande que deux droits respectivement.Ces développements consacrent donc la légitimité des trois géométries d'Kuclide, de Lobatehefski et de Riemann à titre égal; puisque la valeur de (70 peut être légitimement égale, inférieure ou supérieure à zéro.Dans ces conditions, on ne saurait maintenir ou prouver la nécessité exclusive de la géométrie euclidienne, car cela reviendrait à éliminer la possibilité des autres valeurs de la constante de courbure.< "est Beltrami qui a montré en 1S68 la correspondance qui existe entre les propriétés des géodésiques d'une surface à courbure négative et les formules de trigonométrie non-euclidienne données par Lobatchesfski.Riemann de son côté avait déjà montré que le cas de la courbure positive correspond à l’hypothèse de l'angle obtus, ce qui semble contredire les théorèmes de Saccheri, de Lambert et de Legendre sur l'impossibilité de cette 7489 121 LA VALEt'K DES f i ÉOM KTKIElS NOX-EUCU DIEXXES hypothèse.Mais cette contradiction n’est qu apparente lorsqu’on remarque que les constructions de ces derniers utilisent la droite infinie, ce qui n est pas le cas pour la géodésique rietnanniennc, connue nous l’avons déjà vu.( et te dernière remarque nous amène à certaines considérations particulièrement importantes et qu’on pourrait avoir déjà pressenties.i.n étudiant lt‘ comportement d’éléments d’ordre infinitésimal, la géométrie différentielle n’envisage pas au début une surface tout entière, mais bien une région normale ou une aire limitée de la surface.Des postulats généraux sont d’abord posés entre les éléments de cette région.Puis ces propriétés sont étendues au voisinage de n’importe quel point de la région, mais non point, à la surface entière considérée comme un tout.Or cette façon de procéder donne bien la géométrie la plus générale du plan en suivant, rigoureusement le.- résultats de notre expérience directe qui ne nous met en rapport qu'avec des régions qui lui sont accessibles.( et te rest riction de notre champ d'opération comporte tics conséquences significatives, b.n effet, la correspondance qu'on peut établir entre les propriétés de deux surfaces d'un point de vue différentiel, ne tiennent pas nécessairement quand ces surfaces sont envisagées d'un point de vue intégral.Ainsi, la géométrie du plan euclidien correspond bien à celle d'une région cylindrique, mais non pas à celle d'une surface cylindrique complète, où certaines géodésiques sont des cercles ou des hélices.De même, les géométries de Lobatchcfski et de Riemann ne conviennent pas nécessairement à toutes les surfaces à courbure constante.Parmi celles-ci, il faut choisir celles qui permettent la détermination de la droite au moyen de deux points et les postulats de congruence.Mais ici encore, il apparaît que dans l’espace ordinaire il n’existe pas de surface complète pouvant satisfaire toutes les propriétés des plans non-euclidiens.Kn effet, d’après un théorème de Hilbert, il n existe pas de surface analytique régulière (exempte de singularités) qui convienne dans sa totalité à la géométrie lobatchefs-kicnne.Ht d'après un théorème de Liebmann, seule une surface fermée peut servir dans sa tofalité à la géométrie ricmannienne; et la sphère est la seule surface analytique régulière qui est fermée et de courbure constante.Il convient de préciser ici que la géométrie ricmannienne a une double forme: celle du type sphérique, où toutes les géodésiques complètes se rencontrent en deux points; et celle du type elliptique, REVUE TRIMESTRIELLE CANA DIENNE 122 où toutes les géodésiques se rencontrent en un seul point.Il n'est pas bien clair si Rieraann lui-même considérait le plan complet comme sphérique ou elliptique; surtout, en raison de l'interprétation sphérique qu’en avait donnée Beltrami.Mais dès 1S59, Cayley donnait les caractéristiques du plan elliptique; et eu 1871, Klein reconnaissait le caractère non-euclidien de ces propriétés, et distinguait nettement les deux types de géométrie riemannienne.Pour donner une idée sensible de cette différence, on peut considérer la surface sphérique comme ayant deux faces sans aucune communication entre elles; tandis que le plan elliptique n’a qu’une seule face, comme dans le cas de la bande continue de Mobius, qui ne peut pas être partagée en deux parties par une de ses géodésiques, comme cela se présente pour le plan euclidien et les autres plans non-euclidiens.La diversité de surfaces et les nombreuses distinctions que nous avons mentionnées jusqu'ici, peuvent faire penser un moment que ce sont là des complications qui n'ont pas d’objectivité directe et qui n’affectent pas le caractère fondamental de l’espace euclidien.Mais tel n'est pas le cas: toute notre discussion tendait à montrer (pie le plan euclidien, le plan lobatchefskien et le plan riemannien (sphérique ou elliptique) sont également objectifs et également fondamentaux, ("est notre intuition spatiale qui doit s’ajuster pour les utiliser à titre égal, et pour passer de l’un à l’autre sans avoir à les rapporter nécessairement au plan euclidien pris comme base.La justification de cette attitude se trouve confirmée davantage par les développements qu’il nous reste à mentionner.On aurait pu dire qu’un type d'espace ou de surface est plus fondamental que d'autres, si son unité spécifique de mesure doit se trouver d'une façon ou d'une autre dans l'élaboration des métriques de ces autres systèmes.Or cela n'est pas nécessaire dans les géométries non-euclidiennes (pie nous avons caractérisées.En effet, nous devons à Gauss cette découverte remarquable que la constante (K) qui désigne la courbure spécifique d'une surface, peut s’exprimer en termes d’unités mesurées sur cette surface même, sans avoir besoin d utiliser les propriétés (comme les normales) de l’espace euclidien où l'on pourrait imaginer cette surface.En d autres termes, la géométrie d'une surface à courbure constante reste possible et vraie, même si nous faisons abstraction de notre intuition spatiale habituelle.Nous verrons tout à l’heure comment cette notion de courbure affecte l’espace. LA VALEUR DES GÉOMÉTRIES XO.V-EUCLIDIE.VNES 123 D'autre part, i! a été directement prouvé que les géométries non-euclidiennes, aussi bien que la géométrie euclidienne, peuvent être subordonnées la géométrie projective, qui étudie les propriétés graphiques des figures sans faire appel à des considérations métriques.Cayley fournit les moyens de faire cette preuve eu étudiant les propriétés des figures planes par rapport à une conique, qu’il nomma Y absolu pour les besoins de sa théorie.D’après celle-ci, les propriétés métriques d’une figure peuvent être déterminées en considérant cette figure par rapport à l’absolu, et non point en elle-même.Ce fut Klein qui démontra comment on obtient les géométries de Lobatchefski, de Riemann ou d’Euclide, suivant que l'absolu est réel, imaginaire ou dégénéré.Utilisant alors des analogies permises, il inventa pour celles-ci les noms de géométrie hyperbolique, elliptique et parabolique respectivement.Dans le même ordre d’idées, Klein put montrer comment la géométrie riemannienne de type elliptique équivaut entièrement l'étude projective de faisceaux de droites dans l’espace ordinaire.En traduisant ces méthodes dans l’espace, l'absolu devient une quadrique.Pour ajouter quelques précisions à cette correspondance entre la géométrie métrique et la géométrie projective, nous dirons qu’en partant de cette dernière, les notions de distance et d'angle, qui impliquent l'idée de mesure, sont définies en termes du rapport anharmonique entre quatre points.Pour caractériser d'autres notions métriques fondamentales, comme celles de parallélisme et de perpendicularité, on doit introduire des points impropres dans une région que l’absolu sépare de celle des points propres ou ordinaires.Dans une étude précédente, nous avons donné une idée de la contrepartie axiomatique de ces méthodes, en montrant comment on peut partir de la géométrie projective pour atteindre les différentes métriques, en y introduisant graduellement des éléments et des postulats qui en spécialisent la portée à chaque palier.11 convient enfin de mentionner que les correspondances entre les divers types de géométries se manifestent surtout par la construction de modèles qui aident leur représentation mutuelle et qui permettent l'établissement de « dictionnaires » pour les exprimer.C'est ainsi que le vocabulaire suivant peut rendre compte de l'équivalence déjfi mentionnée entre la géométrie elliptique à deux dimensions et la géométrie des faisceaux dans l’espace ordinaire: 124 RK VU K TRIMESTRIELLE CANADIENNE Plan elliptique.Point.Droite.Segment.Angle.Droite perpendiculaire.Triangle.Cercle.Rotation autour d’un point Réflexion sur une droite.Kspace euclidien dans le voisinage d'un point fixe.Droite passant par le point fixe.Plan passant par le point fixe.Angle.1 tiédie.Plan perpendiculaire.Tried re.< ’ône droit circulaire.Rotation autour d’une droite passant par le point fixe.Réflexion sur un plan passant par le point fixe.Avec ces éléments, il est facile rnétrie elliptique en termes e La somme des angles intérieurs d'un triangle est plus grande que deux droites.Toutes les droites perpendiculaires à une même droite passent par un même point.de traduire les théorèmes de la géo-•lidiens.En voici deux exemples: La somme des trois angles dièdres d’un trièdre est plus grande que deux angles dièdres.Tous les plans qui sont perpendiculaires à un même plan passent, par une droite.De la même façon, on peut traduire la géométrie elliptique à une dimension en une géométrie des faisceaux dans un plan, ou même encore en une géométrie du cercle ordinaire.Klein nous a également donné une représentation de la géométrie sphérique sur le plan eucludien, analogue à une projection stéréographique, pour passer ensuite à un modèle pour la géométrie elliptique.Par des moyens analogues, il a construit un modèle conforme (respectant l’invariance des angles) pour la géométrie hyperbolique.Beltrami et Poincaré ont aussi donné des modèles de cette géométrie en partant de principes différents.11 est facile de conclure que ces recherches confirment la légitimité des géométries non-euclidiennes, tout en prouvant l'indé-rnontrabilité du postulat euclidien des parallèles.Hâtons-nous d’ajouter cependant, que ces modèles et ces traductions ne donnent pas un caractère privilégié à la géométrie euclidienne; du moment LA VA LECH DLS UEOMETRtES N'ON'-ELT CEI DIE.VVES 125 que les correspondances sont réciproques, il est tout aussi légitime de justifier la géométrie euclidienne en prenant un système hyperbolique ou elliptique comme fondamental.On a coutume de ramener plus facilement ces systèmes à celui d’Euclide, en raison de notre habitude à nous servir communément de cette géométrie particulière pour nos besoins scientifiques ordinaires.III.— La i AlîACTÉItlSATrON DE 1,’e.SI'ACE Nous avons discuté jusqu'ici les systèmes non-euclidiens par rapport aux surfaces.Il est donc naturel qu’on étende leurs hypothèses à l’espace pour obtenir des géométries non-euclidiennes à trois dimensions.Ici encore, nous pouvons envisager tout d’abord une région limitée de l'espace, [tour nous conformer aux conditions immédiates de notre expérience ordinaire.Or, en reconnaissant trois dimensions à l’espace en général, nous pouvons représenter chaque point de celui-ci analytiquement par trois coordonnées.Pour déterminer le caractère géométrique de la région où ce point se trouve, il nous suffit de préciser celui d’une géodésique qui en est un élément essentiel, ("est ce que nous pouvons faire en établissant l’expression de la distance (ds) entre deux points infiniment voisins, ayant pour coordonnées x, y, z et x -f dx, y 4- dy et z -j- dz respectivement.Cette expression est obtenue par Ricmann, en supposant que le carré de cette distance est une forme du second degré comprenant les différentielles des variables, soit ds - = /, n, ,¦ dx, dx j où les coefficients a,y sont des fonctions des coordonnées initiales.En admettant alors le principe de la superposition des figures, qui permet le mouvement et la congruence nécessaire à toute métrique, il nous montre que la fonction a,j doit être telle qu’on obtienne dx - -(- dy - -f- dz -1 + 1 ; K ( x - -j- y - + 2S) au moyen d’un système de coordonnées convenables.Dans cette expression, la constante (K) est appelée par Riemann la courbure de l'espace, par analogie à la notion de courbure spécifique employée par Gauss pour les surfaces.Il est alors facile d’étendre à l’espace tout entier le principe de superposition, et de voir qu’on obtient des espaces à courbure constante nulle, négative et positive, selon que la valeur de (K) est égale, inférieure ou supérieure à zéro.Chacun de ces types REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE 126 d’espaces donne lieu aux trois géométries d’Euclide, de Lobat-chefski et de Riemann respectivement.En particulier, on peut s'expliquer ainsi pourquoi l'espace riemannien est fermé bien que sans limites, justement à cause de sa courbure constante positive.Si donc l'on envisage une surface plane dans chacune de ces géométries, on a directement le système euclidien, lobatchefskien ou riemannien respectivement.Et il n’est pas nécessaire de considérer l’un ou l'autre de ces espaces comme fondamental pour l'obtention des deux autres.Mais il est naturel qu’on puisse interpréter ces systèmes en fonction les uns des autres, par des moyens analogues à ceux que nous avons mentionnés pour la théorie des surfaces.D'habitude, cette interprétation se fait par rapport au système euclidien; non point parce que cette géométrie est plus fondamentale que les deux autres, mais bien parce qu'elle est la limite de celles-ci, et qu’elle correspond historiquement à l'intuition ordinaire de l’espace.Notons aussi que cette traduction est réciproque.On peut ainsi traduire la stéréométrie lobaichefskienne en termes de celle d'Eu-clide au moyen du vocabulaire suivant: Espace Plan.Région de points à l'intérieur d'une sphère.Les points d'une section plane qui sont à l'intérieur de la sphère.Droite ( cirde de la sphère.Point.Point à l’intérieur de la sphère.Déplacement.Transformation projective de l’espace qui transforme en elle-même la région des points à l'intérieur de la sphère.De même, on peut interpréter l’espace riemannien en fonction de 1 espace euclidien, en rapportant des éléments euclidiens à une quadrique imaginaire mais à équation réelle, au moyen d’un vocabulaire approprié.Au sujet de cet espace, une conséquence intéressante est suggérée par l'analogie de l’équivalence d’une surface à deux dimensions intrinsèques avec la géométrie des faisceaux dans un espace euclidien à trois dimensions.En effet, on peut alors concevoir une équivalence de l’espace riemannien à trois dimensions avec un espace euclidien à quatre dimensions.L'impossibilité empirique de ce dernier n'affecte pas cependant la légitimité du premier, puisqu’il ne s'agit ici que d’une équivalence analytique.Il n'est pas davantage nécessaire de concevoir l'espace tridimensionnel riemannien comme immergé dans un espace euclidien à LA VALEUR I)KS (.ÉOM ÉTRIES NON-EV ULI DIENNES 127 quatre dimensions; il suffit de le considérer exclusivement en lui-rnême avec ses trois dimensions, et de se rappeler que pour toute section plane de cet espace, la géométrie des surfaces riemanniennes est valide.Pour donner une analogie sensible de cet espace rieman-nien, on pourrait le comparer à la coque épaisse d’une sphère, indépendamment de l’air qui l’entoure et qui se trouve à l’intérieur: cette coque a bien trois dimensions, mais on ne devrait pas donner de sens dimensionnel à son intérieur ou à son extérieur.Rappelons encore que dans la caractérisation des espaces non-euclidiens, comme pour le cas de leurs surfaces correspondantes, nous ne sommes point partis de la considération de l’espace entier et d'une hypothèse quelconque relative à l’existence de parallèles ou de sécantes.En suivant autant que possible les données limitées de notre expérience, nous avons considéré une région finie de l'espace; puis nous lui avons ajouté des éléments impropres, pour le couvrir dans sa totalité; nous y avons ensuite introduit la notion métrique de congruence, tout en raccordant celle-ci avec les caractères d'une polarité projective dans l’espace (pii le transforme en lui-méme pour tous les déplacements; enfin nous avons trouvé que la quadriquo fondamentale de cette polarité peut être soit réelle, soit imaginaire, soit dégénérée, ce qui nous donne les trois géométries de Lobatchefski, de Riemann et d’Euclide respectivement.< >n pourrait se demander ici pourquoi il n’y aurait que trois types de géométries convenant à notre expérience générale.Ce n’est pas tant le fait que la valeur de la constante (K) de courbure ne pieut prendre que trois catégories de valeurs; mais encore et surtout l'influence d’un double postulat (pie nous reconnaissons à notre concept général de l'espace: l'hypothèse de la continuité et l'hypothèse des déplacements rigides.Rien que le postulat de continuité ou axiome d’Archimède ne soit pas un absolu en soi, puisqu’on peut construire des géométries non-archimédiennes en utilisant son contraire, il est bien impliqué dans les géométries que nous avons envisagées jusqu’ici.D'autre part, l’hypothèse des déplacements rigides a été d'abord énoncée par Helmholtz et puis utilisée par Lie dans son analyse des groupes géométriques: c’est ce dernier qui a démontré que seuls les trois systèmes d’Euclide, de Lobatchefski et de Riemann conviennent à un espace homogène, continu et isotrope.Le point de départ de Helmholtz a été l'analyse de l’expression donnée par Riemann pour le carré de l’élément de la distance en 1 L’.s UKVUF: TKIMK.'TRIKU.K ( A \ A DIE.VNE fonction des différentielles des variables de ses coordonnées, que nous avons déjà indiquée.Alors que Riemann pose a priori cette expression analytique, Helmholtz a prouvé quelle devient nécessaire en ajoutant au postulat de courbure positive, celui de la libre mobilité des figures dans cet espace riomannien.Klein a ensuite généralise ces considérations par rapport à tout espace à courbure constante, et a reconnu le fait que les déplacements dans ces espaces forment un groupe.l)u moment que ces espaces impliquent le déplacement de leurs géodésiques sur leur plan propre sans déformation et sans extension, Lie a pensé étudier le problème général de la détermination des groupes continus qui ont la propriété de déplacements rigides dans une région limitée.( >r le développement de ce problème lui a fait voir qu'il n'y a que trois types de groupes satisfaisant à cette condition; et que chacun d'eux correspond respectivement aux trois géométries dont nous avons parlé jusqu'ici.( 'e résultat confirme davantage, si l'on peut dire, la légitimité des géométries non-euclidiennes: et avec celle d’Kuelide, celles-ci conviennent parfaitement et indépendamment à la notion d'un espace continu et homogène (possédant une courbure constante), ainsi que parfaitement isotrope, ce qui comprend l’identité rie toutes ses géodésiques.1 ne dernière question doit être mentionnée ici.Votre discussion a montré que les géométries non-euclidiennes ne demandent pas nécessairement une quatrième dimension, comme certains peuvent le supposer parfois.La question de la quatrième dimension peut être rattachée aux géométries nouvelles dans un sens large; si 1 on insiste sur le fait que la géométrie euclidienne implique le postulat empirique rie la trirlimensionalité de l’espace.Mais alors le problème est tout aussi difficile pour les géométries non-euclidiennes que pour celle d'Kuclide: car on peut ajouter analytiquement une quatrième dimension à n'importe quel (‘space.D’autre part, cette addition n'affecte pas la courbure de l'espace original: par exemple, en ajoutant une quatrième dimension à l’espace euclidien, on n’obtient pas du tout un espace non-euclidien.Certes, nous avons indiqué une correspondance possible entre l’espace riemannien et un espace euclidien à quatre dimensions; mais cette correspondance est purement analytique et n’exige pas l’identité des deux espaces.La considération d'espaces à plusieurs dimensions est un problème qui relève* exclusivement- de l’analyse.Il est vrai que LA VALEUR DES OKDM KTRIES NOX-KU ( I.I DIKNN LS 1 20 l'intuition spatiale fournit le point de départ et les analogies fondamentales de la théorie de ces espaces.Mais leur traitement par la méthode algébrique ou la méthode combinatoire est exclusivement et spécifiquement une question d'analyse qui n'a de géométrique que le langage.C’est ainsi que le mot même de dimension n’a pas la même signification dans la théorie des espaces abstraits qu'en géométrie proprement dite.Ainsi, les dimensions de (espace ordinaire sont les étalons impliqués dans la construction des corps géométriques; comme cette construction n’exige pas plus d trois étalons, l'espace ordinaire du géomètre est tridimensionnel.Tandis qu'en parlant des dimensions d'un espace abstrait, on désigne une classe de nombres pouvant avoir autant de membres qu'il y a d'entiers de zéro à l'infini.Or, en considérant l'application des mathématiques au monde sensible, il convient d'y reporter cette importante distinction, ce qui nous donne deux problèmes entièrement distincts.L'un recherche quel est le système géométrique qui convient le mieux à notre univers.L'autre étudie la possibilité et les moyens d'appliquer la méthode analytique d'espaces pluridimensionnels soit à notre monde en général, soit à clés problèmes physiques particuliers comme en mécanique quantique.Nous nous proposons de débattre cette double question dans une étude prochaine.Kn attendant, et afin de rester dans les limites que nous avons définies pour celle-ci, nous devons arrêter à ces considérations de base nos remarques relatives à la théorie des espaces à plusieurs dimensions.IM C.'OXCl.USIONS PHILOSOPHIQUES Les géométries non-euclidiennes se trouvent définitivement justifiées du point de vue méthodologique et mathématique, d’après les précisions que nous venons de donner.Mlles peuvent être traitées aussi facilement que la géométrie euclidienne par les méthodes synthétique, différentielle et projective.La cohérence de chacune d'elles et leur convenance à un espace continu, homogène et isotrope, les rendent toutes applicables aux conditions de notre connaissance géométrique: par rapport à notre intuition spatiale, les trois hypothèses de l’angle droit, de l’angle aigu et tie l'angle obtus peuvent donc nous rendre service indifféremment, ("est pourquoi l'on peut soutenir que les trois géométries correspondant à ces hypothèses sont également vraies.Mais d’une façon générale, dans quel sens faut-il entendre la vérité d'une géométrie?Kn définissant la vérité comme l'adéqua- ]30 RE WE TRIMESTRIELLE CANADIENNE tion do ] esprit à la chose, il faut d’abord s’entendre sur la nature de la chose, avant de donner une valeur de vérité à notre jugement à son égard.Or, une géométrie n'est pas un donné physique, un ensemble d’éléments ayant comme tels une existence indépendante de l'esprit.1 ne géométrie est une construction abstraite partant des données de 1 expérience.Il est vrai que cette construction peut s'éloigner beaucoup de l’expérience.Le problème à résoudre serait alors de déterminer les limites de cette construction, afin de pouvoir établir une correspondance aussi étroite que possible entre celle-ci et les données du monde sensible.Théoriquement, on peut dire que la véritable géométrie sera celle qu'on obtiendrait par une abstraction au second degré de la réalité sensible, directement et simplement.Mais avec nos niovens actuels, cette abstraction au second degré ne nous donne pas une seule géométrie, mais plusieurs: ce qui laisse supposer un certain décalage entre ces géométries et le produit brut de l'abstraction au second degré.Tout en restant donc sur ce second niveau de 1 intelligibilité, on pourrait difficilement soutenir que la géométrie euclidienne est le produit direct et unique d'une telle abstraction.Comme cette géométrie était la seule que le monde ait connue jusqu'au milieu du siècle dernier, on peut être tenté de soutenir qu elle seule est obtenue par abstraction, alors que les systèmes non-euclidiens sont des produits de construction.Mais en regardant les choses de plus près, on s'aperçoit bien vite que toutes ces géométries exigent aussi bien l'abstraction que la contruction.Une analyse plus poussée de la question permettra même de reconnaître une plus grande marge entre la géomètre classique et- le produit brut de l'abstraction au second degré, qu’entre les géométries non-euclidiennes et ces mêmes données immédiates de l’abstraction.Les normes de simplicité et de beauté du géomètre antique le portaient à faire une plus grande extrapolation dans sa construction, qu il n est le cas pour le savant moderne.Tous les deux voient le même monde; tous les deux pratiquent le même procédé d'abstraction; mais chacun d'eux fait sa construction suivant les moyens techniques a sa disposition.( oinme le géomètre moderne a des moyens plus affinés pour voir et pour construire, la différence de ses résultats s explique par l'apport des observations et des moyens d expression dont la science nous enrichit à chaque étape de son histoire.Dans ces conditions, il serait facile de montrer que les géométries non-euclidiennes comportant une courbure constante I.A VAI.KITî mis (.!OM KTKIES XOX-EfCLUMKXXKs 131 de l'espace, exigent beaucoup moins d'extrapolation (pie le système classique.Dans un sens large, on peut dire néanmoins que les trois géométries d'Kuclide, de I.obatchefski et de Riemann s’appliquent véritablement au monde sensible; car toutes trois comportent pour leur espace respectif le fait d'être tridimensionnel, continu, homogène et isotrope.Ht si même on peut établir entre eux des degrés de vérité selon les normes méthodologiques adoptées dans leurs applications, leur appartenance exclusive au groupe de transformations caractérisé par Lie, les départage complètement de tout autre système qu'on pourrait construire arbitrairement avec les données de l'abstraction.Ce sont donc ces trois systèmes qui sont les seuls à posséder une valeur matérielle, dans un sens géométrique, au titre de nos connaissances actuelles.Les autres systèmes de géométrie qu’on a construits ou qu’on peut construire sur la négation de l'un ou l'autre des caractères fondamentaux de l'espace euclidien ou des espaces à courbure constante en général, n'ont donc qu'une valeur purement formelle ou simplement analytique, même s'ils sont utilisés algébriquement dans l'expression de certains phénomènes concrets.Toutefois, il n'est pas impossible que des découvertes physiques d'ordre macroscopique ou microscopique, ne suggèrent aux chercheurs des générations futures de renoncerait caractère soit continu, soit homogène, soit isotrope de l’espace physique, de la même façon que des découvertes récentes nous ont portés à reconnaître une certaine courbure à cet espace.Mais jusque-là des mathématiciens auront construit des géométries correspondant par avance à ces préoccupations, comme ce fut le cas pour les géométries non-euclidiennes dont la signification physique n'a été mise en lumière que cent années après leur découverte.Certes, le caractère tridimensionnel de notre intuition spatiale ne -era guère affecté par ces inventions, pas plus que nos procédés véritables ou nos justes théories concernant l’abstraction et la construction en mathématiques.Tout ce qu'il sera nécessaire de faire alors comme maintenant, c’est de sertir comme des diamants dans les cadres inébranlables de notre philosophie de la connaissance et de l'être saisi sous tous ses aspects, le.- résultats bien contrôlés du progrès scientifique.Thomas < îmm.wvooo, I'rnfcsscur c /’/ niccrxitt d'UWiu’a.M'ittïf de rendement, il faudra environ 45,000 kilowattheures.CAI'ITAI.INVESTI I,‘immobilisation de capital que nécessite un système de chauffage varie avec le mode adopté et suivant (pic 1 installation est neuve ou qu'il s’agit de la conversion d'un mode à un autre, si, par exemple, on veut un système à l'huile, une installation neuve comprendra une tournaise a haut rendement, tandis que -'il .-'agit de la conversion d'une installation au charbon, un brûleur à l'huile sera simplement ajouté a la fournaise existante.De même -'il .-'agit de chauffage électrique, une installation neuve, probablement h chauffage direct, comprendra des radiateurs cylindriques avec éléments chauffants: la tuyauterie ordinaire et les radiateurs à eau chaude ne seront pas installés, s'il -'agit de la conversion d'un svstème à eau chaude avec radiateurs, 1 installation électrique ne comprendra probablement (pie le remplacement de la fournaise par des chauffe-liquides électriques.Suivant le combustible employé et selon (pie 1 installation est neuve ou transformée, le capital immobilisé pour le système de hauffage dans une maison ayant 20,000 pieds cubes d air a chauffer varie comme suit: Mode de chauffage immobilisation du propriétaire ( 'harbon (eau chaude > .Huile.C.az.fllect ricité.Immobilisation du distributeur filed ricité.• Voir appendice A.** Voir appendice B.Des différents modes de chauffage ci-haut énumérés, celui qui emploie le charbon demande la plus petite immobilisation de capital.l.e système électrique est de beaucoup le plus onéreux a cause des sommes considérables que nécessitent la production, la trans- I installation Xeuv< * ( ’onversion $ 660 ?660 1,575 1,080 880 920 070 1,210 S 9,000 ?9,000 138 REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE mission et la distribution do l'énergie électrique (environ 8300 par kilowatt ).Le tableau suivant indique comment se répartit le capital immobilisé pour une maison contenant 20,000 pieds cubes d'air à chauffer.Comparaison des immobilisations Installation neuve ( 'ombus tible Item considéré ( barbon Huile Claz Elect rici Radiateurs et tuyauterie S 420 8 420 8 420 Fournaise à charbon 240 Fournaise à l’huile 1,1 55 Fournaise au gaz.400 Production, transmission et distribution 8300 k\V .8 9,000 Radiateurs contenant élément chauffant 970 Total.S 600 8 1,575 8 880 8 9,970 Transformation ( 'ombiif -tible Item considérés ( harbon Huile ( i;tx Elect rici Radiateurs et tuvauterie S 420 8 420 8 420 8 420 Fournaise au charbon 240 240 240 240 Brûleur ;\ l'huile 420 Brûleur à gaz 200 Production, transmission et distribution .8300 k\V 9.000 Réservoir contenant élément chauffant .750 Total s 060 8 1,080 .8 920 •8 10,210 Coût annuel ut chauffage Pour une habitation moyenne, contenant 20,000 pieds cubes d air a chauffer, le coût annuel du chauffage, soit pour une installation nouvelle, soit pour une transformation, est le suivant: CHAUFFAGE DES HABITATION- 130 ( ‘ombustible Combustible utilisé requis Charbon (eau chaude).12 tonnes Huile 1,250-1,500 gallons Claz.455,000 pi.eu.Electricité.30 kilowatt.- rns tallation Xeuve* Conversa s 340 $ 340 325 300 342 346 1.114 1,135 * Voir appendice A.** Voir appendice B.Coût annuel comparatif DOLLARS M TKh-S COMBI STIBLES SKRVICF.FM < H M DF.$1,135 tu 11 f CIIAKBON (A/ f.l KCIKICIlf.F10.3 Coût annuel comparatif du chauffage au charbon, a l’huile, au gaz ou a 1 électricité.Habitation de 20,000 pi.eu.de volume net.Que l'installation soit neuve ou qu i! s agisse dune transformation, le coût total annuel du chauffage est comparable.Le coût du chauffage au charbon, à l’huile et au gaz est a pou de chose prèle même mais, le coût du chauffage électrique est trois à quatre fois plus élevé que les autres.Dans le cas d’une nouvelle construction spécialement aménagée pour être chauffée a 1 électricité, de-économies assez considérables peuvent être réalisées.< ’es économies créditées au chauffage électrique en diminuent le coût sans toutefois le rendre1 économique.Si, dans l’établissement du coût annuel 140 R E VI' K TRIMESTRIELLE CANADIENNE du chauffage électrique, l'installation en kilowatts plutôt (pie l'utilisation en kilowatt-heures a été considérée, ("est que dans le '•as de l'électricité l'intérêt sur le capital, la dépréciation et l’entretien de 1 outillage installé par le distributeur, pour répondre à la demande maximum, déterminent le coût.S'élevant à environ 11% de 1 immobilisation, ces diverses charges annuelles —- dans le cas typique considéré — atteignent 8990, montant indiqué au tableau précédent comme coût de l'électricité.Les divers éléments qui entrent dans le coût annuel du fonctionnement des modes tie chauffages considérés sont les suivants -— Comparaison de coût annuel5 /nstallation neuve ( 'ombustible Électri Item considérés ( barbon Huile ( !az cité Intérêt 5',.s 33 S 79 8 44 $ 4S Dépréciation 3r,’ .20 48 26 29 Combustible ou électricité.192 134 237 990 Main-d'œuvre et entretien .6(1 29 12 Service d'eau chaude.35 35 35 35 Total.?340 .?325 S 342 S 1,114 I 'ran'formation ( 'ombustible Item considérés ( 'harlion Huile Gaz Électricit Intérêt ôr HABITATION- 141 COUT COMPARATIF DU CHAUFFAGE DES HABITATIONS Al CHARBON'.\ l.'Hl'Il.K.M GAZ 01 K 1,'f.LECTRIClTf.H K IKK.irf.I.M 5KBOV Ml II.h ! I (.\/.CM \RHON 0 2 4 6 S 10 12 14 16 14 20 TON N F.S IIULE 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 GALLONS (, \7.manufacturé 0 76 157 225 305 5*0 455 540 610 M5 7*0 M PDS Cl BF.S Ql \M I I K DF.Ci iM III n mil F R1Q1 IS ÉLECTRICITÉ O 5 |0 15 20 15 ’0 55 40 45 5*) ktl.OW \TTS INSI Ml STION KFa.11 ISF POl R PROP! IR F.1 \ CM U H R DIM 5M>Éf Fig.4 Comparaison du omit annuel de chauffage des habitations au moyen du charbon, de l’huile, du guz ou de l'électricité.IMI’KATI < A lilblTK lit' t.H Al'FFACîK h I, K ("T KKi l'K GTNKK AI.I.s:: Depuis le jour où l'électricité devint disponible, 1 espoir fut caressé qu'elle devienne utilisable pour le ehautiage des habitations.Si cela était possible, ce serait en effet idéal; disponible 142 H K VI K TRIM ESTRI ELLE CANADIENNE presque instantanément, quasi lOO^c efficace et ne laissant aucun produit de combustion, elle est certainement l’élément parfait de chauffage.Malheureusement, le chauffage électrique des habitations par les méthodes connues et éprouvées,6 n’est pas économique et pratique, l'impraticabilité provenant surtout des quatre facteurs suivants: n) L importance de la puissance électrique requise; t” L immobilisation de capitaux importants pour livrer 1 énergie électrique au consommateur; c) La période restreinte pendant laquelle la puissance nécessaire est utilisée; 1 Le coût annuel élevé.a) l'itisstmcf électrique Le chauffage des habitations décuplerait la quantité d'élec-trieito maintenant requise par tous les consommateurs domestiques, commerciaux, municipaux et d'artisanat.La puissance actuellement produite, dans chaque province, serait absolument insuffisante pour fournir les besoins qui résulteraient du chauffage électrique dans les centres urbains seulement.l.sTIMATION I)E I.A PUISSANCE Qt 1 SERAIT REQUISE POUR •TIAl ffer LES HAHITATIONS Y RH A INES I)U t ANA DA Puissance Puissance Puissance installée requise pour Provinces potentielle fin 1042 chauffage IIP.IIP.IL P.Ue-du-I’rince-Edouard 7.001, 2,617 100,000 Nouvelle- Ecosse 167,000 143,217 1.000,000 Nouveau-Brunswick 220,000 133,347 600,000 Québec 17.000,000 4,830,543 8,000,000 < ffitario.0,000,000 2,684,305 12,000,000 Manitoba 6,030,000 420,025 1,500,000 Saskatchewan .1,410,000 00,835 1,500,000 Alberta 1,366,000 04,007 1,500,000 Colombie britannique 7,600,000 815,462 2,000,000 Canada.43,700,000 0,225,838 28,200,000 1 Pour diverses méthode ¦s de chauffage (Sic étriqués, voir appendice C. CHAUFFAGE DES HABITATIONS 143 ]] n'y a que trois provinces dans lesquelles la puissance potentielle des ressources hydrauliques serait suffisante pour répondre aux besoins qui résulteraient du chauffage des habitations urbaines; le Québec, la Colombie britanique et le Manitoba.INTIMATION DE LA PLISSANT e y ri s eu ait requise pou R CHAUFFER LES HABITATIONS DANS LE; ET S PRINCIPALE du Québec ;s villes de i /Ontario 1J II i"it uct requise il a ns Ontario Demande actuelle * Pour Villes 1(140 Per capita chauffage H.P.H.P.H.P.Brantford 15,881 0.5 160,000 Guelph 10,561 0.5 110,000 Hamilton.120,000 0.8 800,000 Kitchener.22,658 0 7 180,000 London.37,281 0.5 400,000 Ste-C'atherine 15,025 0 6 150,000 Sarnia.8,806 0.5 100,000 Toronto 333,381 0.5 3,500,000 Windsor.30,741 0 4 500,000 ( Ishawa.15,258 0 6 130,000 Total.610,492 0.5 6,030,000 Puissance requise dénis Québec Demande actuelle** Pour Villes Totale Per capita chauffage H.P.H.P.H.P.Montréal 400,000 0 4 4,500,000 Québec 50,000 0.6 500,000 Trois-Rivières 25,000 0.5 140,000 Sherbrooke 15,000 0.5 150,000 Shawinigan Falls 10,000 0.5 70,000 Total 501,000 0 4 5,320,000 * Ventes au détail seulement.** Estimé.Les besoins d’électricité qui résulteraient de l'adoption du chauffage électrique, dans les principales villes de l'Ontario et du 144 REVUE TRIMESTRIELLE UAXADIEXXl Québec, seraient tels qu'indiqués au tableau ci-haut, qui moirr-1 fie plus les besoins actuels d électricité dans ces mêines villes.Afin de produire les 3.o millions de chevaux requis pour le chauffage électrique dans la ville de Toronto seulement, ¦> :>t vaincs Queenston, qui utilisent les 305 pieds de tête d'eau entre les lacs Krié et Ontario et qui contiennent 11 unités de 50,000 chevaux chacune, seraient nécessaires.De même, pour fournir les 4.5 million-de chevaux requis à Montréal, sept usines lhauharnoi*¦, qui utilisent les s2 pieds de tete d'eau entre les lacs Saint-François et Saint-I.ouis et qui contiennent 13 unités de 53,000 chevaux chacun», seraient nécessaires.b) Itiïpovlnnee de- cup Vms 'iimobilise* Dan-' les calculs qui précèdent, il a été fait mention d'un montant de 3300 comme capital requis pour produire, t rausinett re et distribuer au consommateur chaque kilowatt requis.Cette immobilisation par kilowatt est beaucoup plus petite cependant que celles qui ont été laite- en Ontario.Le tableau suivant montre les immobilisations faites, dans cette province, par la Commission Hydro-Électrique pour produire et transmettre la force motrice utilisée par les départements électrique- des principales villes, qui à leur tour font la distribution à leurs abonnés.( >n y voit qu'en moyenne l'immobilisation totale est de 3410 par kilowatt; elle e-minimum a Ste-('atharine (3303 et maximum à Windsor 3537 .( A PIT A L INVESTI EX' 1 I.VTAKIO - - 1040 Production ct Total Par Villes t ransinission Dist libut ion Dollars Ivil owat t Brantford .3 3,150,000* s 1,250,000* 3 4,400,000* 3 36S Guelph 2,020,000 630,000 2,700,000 345 Hamilton .21,400,000 s,000,000 29,400,000 330 Kitchener.4,300,000 2,000,000 6,300,000 374 London.7,150,000 4,250,000 11,400,000 4 0s Ste-( ’atharine.2,540,000 1,060,000 3,600,000 303 Sarnia 2,070,000 1,030,000 3,100,000 473 Toronto 60,800,000 47,100,000 107,900,000 437 Windsor s,soo,ooo 7,000,000 15,300,000 537 < tshawa 2,320,000 660,000 3,480,000 325 Total 3 115,050,000 3 73,030,000 3 188,080,000 3 410 * ( tes chiffres élci'trirjuo d'(hitariu proviennent du rapport annuel d( pour I mo.• la Commission hydro- CHAUFFAGE DES HABITATION'S 145 Si l'on estime que chaque kilowatt demandé pour le chauffage électrique nécessité une mise de fonds de $300, on voit (pie pour desservir la ville de Toronto huit cent millions de dollars seraient requis, et que pour Montréal les immobilisations s élèveraient a plus de mille millions de dollars.Pour chaque habitation, la mise de fonds requise serait de l'ordre de $750 par tonne de charbon maintenant utilisé; c est ainsi qu’une maison utilisant deux tonnes de charbon nécessiterait une immobilisation par le distributeur de $1,500.Tonnes de charbon 4 G £ 10 12 14 10 18 20 Immobilisation $3,000 4.500 G,000 7.500 9,000 10.500 12,000 13.500 15,000 Il est entendu que ces chiffres ne représentent que la mise de fonds du distributeur.Le consommateur pour sa part devrait investir environ $25 par kilowatt requis, dans le cas d une transformation, et entre $30 et $40 par kilowatt, dans le cas d'une nouvelle installation.c) Période restreinte d'utilisation L'installation importante requise pour assurer la chaleur nécessaire dans les journées les plus froides ne serait utilisée qu une faible partie du temps.L'on estime que, des S,760 kilowatt-heures que chaque kilowatt peut produire annuellement, 1,500 seulement seraient utilisés, c'est-à-dire que le facteur d utilisation ne >erait que d’environ dix-sept pour cent.d) Coût annuel élevé Il a été fait mention précédemment que la dépense annuelle du distributeur s’élève à 11.0 pour cent du capital immobilisé.Ce ]46 REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE pourcentage est sûrement le plus petit qui assurerait l'exploitation fructueuse d'une entreprise électrique, opérant dans un marché résultant de l'adoption du chauffage électrique.Pour l'année 1940, les entreprises électriques des États-Unis recevaient un revenu égal à 13.5% des immobilisations.Durant la même année, les recettes des départements électriques des principales villes de l'Ontario représentaient en moyenne 12.6% de la mise de fonds.Minimum à Kitchener à 11.2% le pourcentage était maximum à 16% à Oshawa.Revenu des départements électriques en Ontario (1940) Revenu total Par kilowatt (approx.) Produc- % du tion trails- Distri- Villes Ç capital mission button Total Brantford.3 517,218 117% 832.70 810.00 842.70 Guelph.329,048 12 2% 32 30 7.40 39.70 Hamilton .3,689,910 12.6% 30.00 11.70 41 70 Kitchener.709,595 n 2% 31 70 8.70 40 40 London.1,315,927 11.5% 31 .80 16.40 48.20 S.Catharine 480,407 13 .3% 29.20 S .60 37.80 Sarnia 362,164 11.7% 37.60 15 60 53.20 Toronto.13,951,968 13.0% 30.20 23.70 53.90 Windsor .1,803,077 11.5% 35.20 22.30 57.50 Oshawa.556,928 16.0% 41 .00 4.60 45.60 Moyenne totale.12.6% 8 30.90 8 18.80 8 49.70 Ce tableau indique aussi, qu’en 1940, le revenu moyen par kilowatt dans ces villes de l’Ontario s’élevait à environ 850.Pour produire un tel revenu, chacun des 1,500 kilowatt-heures que le chauffage électrique utiliserait par kilowatt d'installation, devrait se vendre à 3.33 sous.Conclusions Cette analyse démontre clairement que, sous le climat de Montréal et de la province de Québec en général, le chauffage des CHAUFFAGE I)ES HABITATIONS 147 .ocaux d'habit at ion par elect l icite ne peut étro considéré que comme un chauffage de grand luxe.Kn effet, il en coûterait de trois à quatre fois plus cher qu’il en coûte aujourd’hui pour chauffer au moyen du charbon, du gaz ou de l’huile.Le chauffage électrique généralisé nécessiterait des installations énormes, qui ne seraient utilisées entièrement que pendant des périodes très courtes.L'importance des capitaux investis produirait des charges fixes très élevées qui, ajoutées au coût d’entretien et d'exploitation, nécessiteraient des tarifs beaucoup trop onéreux pour la grande majorité des propriétaires.Il n'y a pas de doute (pie l'électricité sera de plus en plus utilisée pour le chauffage mais, ce ne sera rpie comme auxiliaire au charbon, à l’huile ou au gaz.APPENDICE “C” .MÉTIIÜDKS DM < HAITFACE A L’ÊLKCTRICITÉ Des divers modes de chauffage des locaux d'habitation par électricité, les cinq suivants sont les plus intéressants: 1.Les radiateurs à chauffage direct; 2.Les radiateurs ordinaires à eau chaude, alimentés par des chauffe-liquides électriques: 3.Le chauffage à accumulation centrale; 4.Le système à panneaux; 5.Le système à réfrigération renversée.('es diverses méthodes peuvent être décrites ainsi: 1.Chauffage direct Cette méthode est particulièrement applicable aux nouvelles constructions ou aux habitations déjà construites, qui ne contiennent pas de système de chauffage à eau chaude.Le système est constitué de tubes d’acier de petit diamètre, à l'intérieur desquels se trouve un boudin chauffant, supporté par des isolateurs.La capacité usuelle d'un tube de 2 pouces de diamètre est de 70 watts ou 240 Btu par pied linéaire de tube, ou environ 134 watts ou 400 Btu par pied carré de surface.Ces chiffres correspondent 14S liKVI I Till MK .iMKI.l.K « \\.\ DU.N N K APPENDICE -A" COMPARAISON du COI T .ANNUEL du CHAUFFAGE des HABITATIONS au moyen DU CHARBON, DF.L’HUILE, DU GAZ OU DE L'ÉLECTRICITÉ INSTALLATION NEUVE ITEM CH.U.I.l ’ H I! IFQFISF.\ .;î H.i H'i 1 a rftatlfîor 1 pi < U ! ' ’ ¦ :i ’••ijuiso pi rar • arul/-* ¦ million»' I•• « - - • 1 ¦ 11, .1 « 1 .11 ¦ 1 -• 1 vl j \ ¦> « i 2'» *1 i;*> 2oo 30.1100 it.»* i v».; .ITEM ( i 'Mlli vr ihi.i; DEMANDE i , rl H ' ir r itallon?1.1000 [)• -T ':nt2 : kiiouatt» kil-.wntt» heurei O) S.V) ¦jj'.30*.1 ¦» 20 22 *-« :i0.i)i ¦ i II) l.ov» 1.2 w » IM.12 to i > i*.1.470 l.i,mi 37> tu 7,2 'i 00 i» • i I - 2 1 «'*( 2 ’ 1 *.7 7 ' CHARBON H.t'i ,ii»Mir» *•( tmuuteri»* S 2 lo 5 - • 1 i t - i 120 J 50o t SO i r .na.-e ; •*' : ¦ .‘i 2 IO a i ¦mi I.obilMHtmn total»* t •• 47 - .‘>70 7IV) 50) ooo 1.070 1 r.* .'-rt-t i i S 20 S 2 4 < 2’» i 33 S IS S 4M < ta S 7.4 1 »'[ • 5 1 '.ISO J 2 12 *.In* rAt ,V : ?i (il 4 7.4 S 7., « V 5 91 J Di ; rZ-riatinn A* , AO 37 4 4 s 7.1 .',•4 1 • i • 1" iraHuii .¦ • : ¦ ! .1 1 -7 » r.• -r v 1 4 4 5 5 i .2 ’ .» 32 t-.1 ¦ Set • ; ¦ ; • |(i« • to to A7) 4 1 t ¦ ût annuel total S |95 $ 24 H 5 2 s 0 i 325 i 5o4 % 407 4 440 5 512 (• Chauffe-eau automatique • n t\f- « f s.-,, • • 1 I- 1 ¦ GAZ .• •.•.• tm a uterie * 2 lo t 2m.J •• -i » 120 i .} f.Mr -ur hu ira 1 et installa’uni n » 1 40*1 400 t.» 1 7,2< ) .1 , 1” • >hili«at." n totale S MO ?'•mi S 7 '.0 5 SM) i | "2o S :*-• s: .too S 1.1-4 Ir '••¦t .V ; t 32 j * 34 $ U 3 *4 $ 3 ¦>s $ f 7 ! I pr< it 1 r ; 1'.20 21 2*.31 to 4 • '.u-t:Me • lut l*s 1*' 2.(7 27o 317 37.0 : '>••••- 1 d ,-HU La j Je 1 automatique! tu 30 to I .|.< 1 au 1 ( -Ût annuel total t 199 S 242 f 2-9 j J 44 2 f 49* 1 } 455 3 510 * 57 • 1 • 1 l ’.i le 1 Ooo pi < 1 en hiver < m>\ • A nv .- »*t 7.* par 1 1 Hkl [„ .en t-rt- ÉLECTRICITÉ Immobilisation du distributeur J 4 ‘•00 S 6 OOO S 7 sno 1 9 OOft I Jl« soo SI 2 000 SI 4 *00 ||4 000 Immobilisation du consommateur 540 :«• S40 9-11 1 1 100 1 2^0 1 47 4 1 tit^rèt 7,' ; • 2 s 35 4 2 ) s v, ¦ I 1 )£pr/< lat 1 '>r 1 3' , * .1 : 21 33 f lertr^i ite | 1 , Jt- .hnn .du !,-.,t,.r, .| , di»! nbuteur 41».) t.CO s2*> '?00 i 1.17.7, 1 1.320 1.4 V, 1 l l.fvV) f • tretirn 10 | 1 !" lo 12 .1 4 1 »» Is 2>) Servire J eau rhaude 30 1 30 30 1 37.; 40 , 45 1 r*) I t où t annuel total 550 756 9.42 1 1 114 1 297 1 4*2 1 665 1 «Mi 1 • Ir.’ef’t et d*pr*> .nti'.n sur immobilu sti .n du i on» «n.fi.a te ,r seulement S*pfrr- Grc 1912 CHAUFFAGE DK.' HABITATION.' 149 APPENDICE "B COMPARAISON du COÛT ANNUEL du CHAUFFAGE des HABITATIONS au moyen DU CHARBON, DE L'HUILE, DU GAZ OU DE L’ÉLECTRICITÉ CONVERSION D'UN SYSTÈME DE CHAUFFAGE AU CHARBON ITEM CHALEEU 1 IlEQl'I: SE ' 11 ! U1 : < .1 • f.Huffer JH ('U 1 1" .'«¦» 1 v.t»a» 11 i,u h 1 20.IMI 23,300 20,u «l 30.0» ni 33.300 • {.•«•Si;»* • ’ rj n«« j.i rar • 300 400 a * i » j ¦< i 7' « • I 1 *t< ¦ ;ir:(IZh * million* 100 12.% 1 Vi 173 200 223 2.V) ITEM* COMBUSTIBLE DEMANDÉ < hurt.h !• nilr* .1.10 , IJ 11 lti JO Huile ca!lon»i 7 Vi I.J.VI 1.'4 0 1.7 Vi 2 (HK) 1 2 J VI 2.VU) ¦| / D • • ! , 30-, 3 so 7U, f kili.untt» 20 i i kilowatt» heur** 22 .Vk’i AH.OUI 37.Vif» 4 *.i•< »T *2 VMl tiO.OOO 7 ' 1 • M 1 CHARBON Radiateur* et tuyauterie J .t" S # iVi ?12.i i '1 11 t :,si i S OMI î 7-41 r ournaiee lui 1 no JJO J40 'iji JM) 31 MI Inimobilieation total» ,t IHI ‘ S 370 * MU) 5 7t.ii ?S60 $ '.IM) ¦ *1.070 Ir.t/rft 5'", ! JO | | « -A 1 < 20 ?33 « 3 S * 43 J 4 S J M I >• j.rf- mtion 3’ , U 23 20 t < ri.buftible flti la tonne nu, 1 JS ' ’ t 2 VS : 1 :.a,iffeur $.i la t«.nn» 30 j 0.-, i Ml 00 1 N rvire (1 I HI.Laud** Jacket Mentor 40 • 4*.V) 1 (¦oût annuel total % IHM $ j. I l'.tv 2.37 1 27*.317 I .3.'.*; 3D.» h i tl eau chaude i automatique i 30 30 1 30 : |.IS ,V) Coût annuel total « |99 ; 245 i 2«4 S .140 < .!«*er\ i.e il i au chaude .30 1 30 .3.» i 40 1 4.i 1 Vl I 55 ( oût annuel total 595 770 951 1 1.15 ! 117 1.502 1.685 1 H7I * Intérêt *t dépréciation «or itnn.i.l i!i».at ion «lu c .rur t' mat» ;r «•¦uler tient ptempre 1942 1.50 R K VUE TRIMESTRIELLE CA.VADIEN.VE Fig.5 CliiiuffuKe direct par tubes (Tubular beaters).à une température maximum de 180—200 degrés F., sous des conditions normales de convection.Le système de chauffage direct électrique transmet sa chaleur en partie par radiation directe, mais surtout par convection.Ce mode de chauffage a été adopté pour plusieurs des installations auxiliaires développées par The Slmwinigan Water & Power Co.Son opération est plus économique (pie le système comprenant des radiateurs à eau.2.Chauffe-liquides électriques Ce système est particulièrement adaptable aux habitations chauffées au moyen de systèmes à eau chaude.Les chauffe-liquides sont installés dans des tuyaux ou des réservoirs et remplacent la fournaise au charbon.La chaleur est transmise par l’eau chaude au système de radiation.Plusieurs expériences ont été faites avec CH AU FF AG H UES HABITATIONS 151 URN I II MH I SHON ISOLANT KOI KN MNF Fig.O Chauffage par chauffe-eau électrique à circulation adapté à une fournaise ordinaire pp système par The Shawinigan Water it Power C’o.et par la Saguenay Electric Ce.7 3.Accumulation centrale Ce système a été surtout développé en Angleterre où l'on voulait encourager l’utilisation de l'énergie durant la nuit, alors que les usines électriques et les réseaux de transmission et do distribution étaient peu chargées.Les tarifs réduits notant en vigueur que de 10 p.m.à S a.m.environ, il faut installer des appareils de capacité considérable pour tempérer l'air à chauffer et accumuler pendant cette période assez de chaleur dans des appareils spéciaux pour maintenir la température acquise pendant la balance du jour.Il est évident qu’un tel système ne peut être employé que là où les besoins de chaleur ne sont pas trop grands, car autrement les appareils d’emmagasinement de chaleur seraient beaucoup trop 7 Le résultat des expériences de la Saguenay Electric Co.est rapporté dans les transactions de The Canadian Electrical Association de 1933 et 1934, 152 REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE onéreux.Ce mode de chauffage n‘a pas été essayé dans la province de Québec.Le système a panneaux Ce système, l'invention de A.H.Barker, B.A., B.Sc., un ingénieur anglais, date de 190S.On l’a employé avec succès dans plusieurs bâtisses importantes d’Europe.11 consiste en panneaux électriques qui peuvent fonctionner des manières suivantes: (/) Les panneaux sont placés sur le mur, et opèrent à des températures de l’ordre de 550° F.; b) Les panneaux sont placés sur le mur, et opèrent à des températures variant entre 100 et 150° F.; c) Les panneaux sont incorporés dans les murs ou le plafond; ils opèrent à des températures de l’ordre de 80 à 120° F./ .'i i11 < /// III 11 // //Ml' \\ \ / / , I \ ' > X /////11' , , 1 1 1 ' /1 \ I Fig.7 Chauffage à panneaux.Les panneaux émettent des radiations qui traversent l'air sans en augmenter sensiblement la température et viennent ren- CHAUFFAGE DF> HABITATION'S 1.53 contn r des objets qui les arrêtent.Les radiations sont alors en ]luitie absorbées et en partie réfléchie-, et e e>t ainsi que le> muis, le plancher, le ])lafond et les meubles sont réchauffés et deviennent eux-mêmes des surfaces radiantes, ("est dû à la convection provenant de ces surfaces (pie l'air est réchauffé.1 )ans son étude intitulé "The Kleetrical Heating of Buildings",3 Ronald < triers on réfère à une installation en surface à haute température ' ¦ part en Angleterre, où on utilise 1 watt par pied ,j,.y ' ¦ de pière à chauffer.Cette installation, sous un climat beaucoup moins froid qu'ici, indique (pie la puissance requise pour une installation a panneaux n est pas bien dilleiente de celle requise par le chauffage direct, ou celui qui emploie l'eau comme intermédiaire.L'utilisation d'énergie serait sans aucun doute moindre, mais ceci n'influencerait pas le coût du chauffage, qui dépend de l'installation maximum requise.5.R ÉFKI< ÉKATION I! EN V EUS K E L'air, l'eau ou tout objet contient line grande quantité de chaleur, même aux températures usuelles les plus basses.Dans le procédé de chauffage par le système à réfrigération renversée, l'appareil ne fait que capter la chaleur latente de l’air ou de l’eau à l'extérieur, et par pompage la transfère a 1 intérieur du local a chauffer.La quantité'de chaleur ainsi obtenue a été trouvée supérieure à celle (pie pourrait produire la meme quantité d électricité, utilisée directement dans une des méthodes ordinaires de production de chaleur.Le cycle d’opération du chauffage des habitations par le procédé dit de réfrigération renversée est le suivant - Dès que le compresseur se met en marche, le liquide réfrigérant est refoulé du réservoir, (pii le contient, vers la soupape d’expansion où il se vaporise en se refroidissant considérablement.Kn circulant dans l’évaporatour, ce gaz froid absorbe la chaleur de l'air extérieur.Le ga;: ainsi réchauffé est aspire par le compresseur qui, en le comprimant, le liquéfie et élève sa température.C'onti- 8 Reproduite dans le Journal oj the 1 nstilulion of Electrical Engineers (England), Sept.1931 and July 1932.C/D 1 154 revue trimestrielle canadienne ^ZZZZZZZZZZZZZZ22ZZZZZZZZZZZl Z Z Z soi pape D'EXPANSION — COMPRESSE! R CONDENSATE! R RKERIOf.R \V| C.V* .ropiration **£5^» «Mo,, „ ,„c« ** nuant sa course, le liquide chaud circule dans le serpentin du condensateur et transmet sa chaleur acquise à l’eau du sv.^më de chauffage dont la circulation est assurée par pompage.‘Quant au iqm, r fngérant lui-même il retourne au réservoir d'où il était parti au début du cycle d'opération.'-'Trf'F 'l" ^application ,1c cc procédé au chauffage Ica ocuux ,1 habitation sont discutables: maintes difficultés devront certainement être résolues avant ,„,c le procédé devienne écon“ îquement possible sous un climat tel que celui du Canada.IFuot Massue i.c., m.e.i.c. LES MATHÉMATIQUES pT LA COURBE DE TRANSITION ROUTIERE PRATIQUE Avant-phopos Il faudrait s'excuser do commeneer par une sorte d avant-propos un exposé dont le sujet laisse déjà présager des longueurs; mais rassurons-nous, cette précaution n'a pour but que de montrer jusqu’à quel point le sujet des courbes de transition a pu passionner les esprits des chercheurs et praticiens intéressés aux routes automobiles.L’Engineering News Record, dans un article du S décembre 1938, intitulé: “What about spiraling ?”, publiait certaines opinions émises lors d’une enquête tenue sur 1 à-propos d introduire, pour les routes automobiles, une méthode depuis longtemps de règle sur les chemins de fer.Voici quelques-unes de ces opinions: a) M.Joseph Barnett, ingénieur senior des plans de L1.S.Bureau of Public Roads, donnait, en résumé, les réponses traduites qui suivent: 1.Il faut employer les transitions si on veut maintenir, autour d'une courbe, une vitesse uniforme et encourager les conducteurs à garder leur courant de circulation; 2.On a souvent été d'opinion, chez nombre d’ingénieurs routiers, que les courbes de transition nécessitent, au bureau et sur les chantiers, des calculs harassants découlant en un surplus île frais pour les travaux d'ingénieur: 3.Ces considérations n’auraient pas dû empêcher l’emploi des transitions par une profession cpti, dans le cours normal des choses, résout ordinairement des problèmes encore plus compliqués; 4.F.n dernier ressort, M.Barnett présente ses tables; avec lesquelles croit-il, il est aussi aisé de dessiner et localiser des courbes de transition que cela peut l’être quand il s’agit de tangentes et de cercles simples.Je serais tenté d’ajouter une parenthèse prétentieuse qui n'est certainement pas au désavantage des tables et d'un système, qui vient d’être mis à point, par les ingénieurs de la voirie du Québec.b) C'est ensuite le tour de M.A.J.Srhamehorn, directeur de General Motors Corporation, dont la lettre se resume ainsi: « Il est évident que le confort de la spirale sur les courbes, avec une surélévation appropriée, est devenu d’une nécessité absolue ».c) Puis c’est M.J.A.Wilson, de Wendley, Angleterre: « Espérons que les commentaires de votre éditorial du 23 juin conduiront à une analyse critique de la trajectoire naturelle d un mobile avec volant, suivie, lorsque ce mobile passe d une tangente a un arc de cercle, au moyen d'une spirale dérivée simplement de la géométrie »: RE V U 1: TRI.MESTRIEI.LE CAN A DI ENNE 15G m piu>« loin.M.C.II.Garriss, ingénieur fédéral de contact, de Riley, Caroline-du-Xord: «On peut démontrer amplement, à l'évidence, que les courues avec spirale sont plus sures et offrent un déplacement plus confortable que les courbes simples ", .1 ai entendu beaucoup de commentaires favorables, sans en jamais entendre de défavorables au sujet de ces mêmes courbes.n élimine ainsi la vieille méthode du pouce, employée autrefois pour passer de la ligne droite a 1 are de cercle et réciproquement)).Considerations théoriques et pratiques On pourrait, pour amorçer le sujet, se demander: « \ a-t-il üeu d invoquer le concours îles mathématiques dans un sujet aussi banal ?».Détrompons-nous, car nous aurons bien vite fait de réaliser ce qu'est la spirale routière quand nous aurons remarqué qu’il faut absolument un arc de transition entre la ligne droite, que nous appellerons ici tangente, et la courbe routière longtemps idéale, l’arc de cercle.Si nous pouvions rester dans la géométrie a trois dimensions, l'affaire serait relativement simple, mais nous sommes obligés de recourir à la géométrie à quatre dimensions, puisqtt il y a un mobile et, avottons-le, la plupart du temps un très grand nombre.Admettons.pour un instant, comme courbe idéale, 1 are de cercle.Sur cet are, il faut, de toute nécessité, combattre la force centrifuge en surélevant le côté de la courbe opposé au centre.Dans ce dernier système, cependant, la tangente précède immédiatement l'arc de cercle.Ce qu'il y a de plus important est le passage, en toute securité, du mobile; de la ligne droite au cercle et du cercle a la ligne droite et, cela, sans choc ni dérapage.On pourrait mathématiquement appeler la ligne droite, une courbe dont le rayon est infini.Si on se remet en mémoire que le rayon du cercle est une valeur bien finie, on verra (pie, sans arc de transition, le mobile doit sauter directement d'une valeur infinie (ligne droite) à une valeur finie, fare de cercle).Ceci établit péremptoirement qu’il faut un arc de transition entre le cheminement droit et le cheminement en arc de cercle. [.KS MATIIKM.l'T I,A COURBE DE TRANSITION' ROITIERE 1.57 Mais (|ui donc dans le public, ou mémo parmi les citoyens ordinaires ou extraordinaires, est intéressé au sujet Tout le monde, évidemment, puisqu'aujourd’hui rares sont ceux qui ne sont pas appelés à circuler en automobile.Toutes les classes de la société doivent, un jour ou l’autre, parcourir les circuits automobiles: les membres du clergé, de la magistrature, des différentes professions, de la milice, de l’artisanat, enfin toute la population civile a conscience du perfectionnement formidable qui a été apporté, depuis vingt-cinq ans.disons, non seulement a la construction, des machines elles-mêmes, mais au perfectionnement des carburants.Et on se trompera énormément, si on se laisse convaincre (pi il n a pas fallu faire intervenir les sciences et les mathématiques pour en arriver à de tels perfectionnements mécaniques.Mais la route elle-même.où devront se mouvoir des convois excessivement lourds et rapides, transportant des vies humaines et du matériel de guerre, ne doit-elle pas progresser en parallèle avec ces différents genres de véhicules?Pour nous intéresser davantage à la mathématique de la vie pratique, nous avons un exemple qui vient de très haut puisque c’est celui du plus grand des mathématiciens.Il a du délaisser les trajectoires à rayon constant pour adopter des courbes a rayons v ariables tels que l’éllipse, la parabole et l’hyperbole.Un des exemples les plus frappants, c'est la trajectoire de la terre autour du soleil, qui a, comme vous le savez tous, la forme ellipsoidale.Venons-en maintenant aux mathématiques proprement dites et rappelons-nous que la spirale, dans notre cas, lare idéal de transition, a été étudiée tout spécialement par un ingénieur de la voirie, M.Léon C.nut hier, sans autre but que celui de contribuer à annuler les sensations d’inconfort et d'insécurité imposées aux automobilistes dans les virages mal tournés, et encore, surtout, pour combattre l’énorme risque d’accidents auxquels on est exposé dans ces mêmes circonstances.Pour le moment, restons sur lare de cercle et n’oublions pas que la formule mathématique de l’ennemi à combattre est .C’est contre cette espèce de démon qu’il faut lutter et il n’intervient pas dans le conflit par des moyens ordinaires, puisqu’il se sert du carré de la vitesse, celui des facteurs qui enchante le plus l'automobiliste ou lui est le plus utile.C est pourquoi il est encore plus difficile d’inviter ou de forcer les automobilistes à relentir avec des machines créées pour faire de la vitesse: il faut donc plutôt s'ingénier à bâtir des routes qui puissent, par leur conformation, annihiler les effets de la vitesse en appli- 1 58 REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE quant un remède mécanique du même ordre que celui employé dans le perfectionnement des véhicules moteurs.Mais, au fait, les automobilistes dans Québec se dispensent-ils complètement d'accidents dans les courbes?Un simple petit coup d’œil sur les statistiques va nous convaincre que non.Voici, par années, les statistiques du total des accidents et accidents survenus dans les courbes: Total des accident.- dt Annéi Accident s dans les courbes 1932 .7,538 362 1933 6,118 291 1934 7,03(1 433 1935 7,849 530 1936 8,488 522 1937 8,979 555 1938 9,568 643 1939 10,003 665 1940 11,049 630 76,622 4,631 pourcentage du nombre d’accidents survenus dans les courbes, par rapport au nombre total, est de 6.C'est un peu comme si le total des accidents était représenté par un capital (pie l'on placerait à intérêt de 6%.Comme vous pouvez le voir, les courbes rapporteraient, en accidents, un revenu tragique qui est loin d'être négligeable.Mais cela n'est pas tout.Il faut ajouter la sensation d'inconfort et d’insécurité dont se ressentent, non seulement les conducteurs d’autos, mais encore les passagers, comme le fait si bien remarquer M.André Manhein, dans les Annales des Pouls et ( haussées, où ce même ingénieur tente de donner des valeurs physiques a ces sensations.Cette sensation d'inconfort et d’insécurité éprouvée par le chauffeur n’est elle pas indirectement le chemin qui conduit à nombre d’accidents supplémentaires ?Ht nous voilà insensiblement rendus au côté mathématique.Un I abordant, il n’est (pie logique de nous demander si l'arc idéal de transition, entre le cheminement droit et le cheminement circulaire, a une équation.( "est bien certain qu'il en a une, qu'on pourra retrouver à la page 9 du numéro 36 du Bulletin des Extraits de Remues routières de la Voirie.Voici quelle est cette équation: L* LES MATHÉM.ET LA COURBE DE TRANSITION ROUTIERE 1 59 Cette équation, comme le fait remarquer si judicieusement M.(îauthier, se prêterait mal au tracé de l'arc de transition par les méthodes courantes.Je vous fais grâce de tout le détail des lignes géométriques représentées par les différentes lettres que vous venez de voir, pour ne vous faire remarquer que, pour ne pas cesser de rester dans les méthodes confortables enseignées à Polytechnique, il nous faut arriver à des coordonnées rectangulaires du genre X et Après plusieurs raisonnements et processus mathématiques, on frappe un beau jour (pas nécessairement par un beau soleil) la formule différentielle donnant la relation entre l'ordonnée V, le sinus de l’angle qui existe entre l'alignement et la tangente à la transition, puis la longueur de la courbe de transition.On obtient, de cette manière : il y = si n 0 X < IL.Pour déve' t ce malheureux sin 0 à son mérite employer la série de McLaren, et on obtient finalement : 0 3 TT il faut sin 0 = 0- JLL-.LL +.) r.i - l 1 .J Après quelques remplacements appropriés et certaines transformations mathématiques, on finit par obtenir: .L3 L7 ____ L» * “ 3 (2Rc L,)_ 42 (2R, L,) 3 + 1320 (2Rc L,)5 Ln processus à peu près semblable nous permettra de trouver X Ces valeurs de A* et de )' sont des valeurs essentiellement théoriques qui vont nous permettre de trouver (pie les séries sont rapidement décroissantes et qu'il va suffire, la plupart du temps, d'en développer deux ou trois termes, et même un seulement, pour avoir des solutions satisfaisantes et qui vont vérifier au centième près avec les valeurs données par la table de M.Joseph Barnett, ingénieur routier de Washington.Différences entre l'arc de cercle et l’arc l'idéal de TRANSITION Autant l’arc de cercle jouit d'un arsenal de valeurs constantes, telles que, par exemple: rayon, longueur, surélévation, autant l'arc de transition est capricieux et inconstant.Son rayon ne se fait pas scrupule de passer de la valeur infinie à la valeur finie.Sa surélévation est (‘Ile-même assez variable, puisqu’elle part de zéro pour atteindre finalement la surévélation constante de l'arc de cercle.99 Figure EXEMPLE DE COURBE - SPIRALE • ClPCONFEPENCE SPIRALE VITE.SSE CARACTERISTIQUE 70 MILLES A L'HEURE (BASE DES COURBES 0** A* INCLUS) COODE TYPE LONGUEUR 100*0 DEGRE DE LA COUQDE ACTUELLE S*00' VOIR TABLEAUX I* It In ANGLE Ac-A Z •» LONÛUtUQ i: N WL'iûNt lENUk^ao O OfiOQE D UNE COCOE UE*.***C LA OEfLtllON UiOrSPOHOANTL PENTE TBAN5VtO*.AlC MiNISTtOC OC LA Voioir POOVINCC OC QUEBEC I : i x -V : 11 < i vn Y LES MATUÉM.ET LA CO EK HE DE TRANSITION ROUTIÈRE 161 Que dire maintenant des différentes vitesses que les conducteurs d’automobiles vont adopter pour atteindre l’arc de cercle après avoir traversé la courbe de transition ?11 faut que la route leur fournisse le moyen d’exécuter ce tour d’acrobatie sans heurt, accident ou commotion nerveuse du conducteur et des passagers.(Via revient à dire cpie les ingénieurs avec ceux qui font le tracé des routes et les plans doivent être très exacts.C’est pour cela qu’il a fallu établir des tables pratiques pour le tracé, en tenant bien compte du devers, du coefficient de frottement, de la vitesse et du rayon du cercle.Après être passé par l’équation s -f- /•’ = 0.067 - - ’ où N donne H le devers, /•' le coefficient de frottement des pneus sur la chaussée, T la vitesse en milles à l’heure et I! le rayon, on en vient à la conclusion qu’il va falloir, ,-i on veut être pratique, adopter ces constantes simples et bien définies; celle, par exemple, du devers minimum qui, raisonnablement, dans la province de Québec, ne peut être supérieur à 0.10 et celle du frottement (pii doit aller jusqu’à .14, lorsque la vitesse atteint ou dépasse 70 milles à l'heure et, cela, pour que l’automobiliste ne perçoive pas de sensation très nette d'inconfort.En mettant ces données sous forme de tableau, on arrive aux résultats suivants: V >' F lie Dr 70 0 10 0 14 1370 4 ’ 60 0 10 0 16 92S 6 ° 50 0.10 0 16 644 0° 40 0 10 0 16 412 14’ ¦* table ¦au, l ' = vitesse i ¦n milles à .l'heure; >’ F — coefficient de frottement; lie = rayon, partie circulaire de la courbe; De — degré de l’arc circulaire.D'autre part, comme le fait remarquer encore M.Gauthier, on n’ignore pas que la spirale va permettre h" développement graduel de la force centrifuge et que, si nous appelons Ls sa longueur, nous aurons: Ls minimum = 1.6 E3 F 1.6 V 31)r 0730 De cela, va nous venir le tableau qui suit: Vitesse milles à l'heure Ls minimum De maximum 70 05.8 D'.soit 100 I)c 4’ 60 60.3 l)c.” 60 Dr 6° 50 34.0 1)'.” 40 0 ’ 40 17.0 l)e." 20 l)c 14’ REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE ] 62 Pour le tracé, on admettra sans difficulté que l'arc et la corde se confondent.De là, on conclura que, pour une vitesse caractéristique donnée, la spirale correspondante est composée d’un nombre de cordes de 100 pieds, 60', 40', 20', égal au degré De de la courbe.Appliquant à la mathématique un vieux principe rie Part poétique de Boileau: « Qui ne sut si' borner ne sut jamais écrire », on en arrive, comme M.Joseph Barnett, à étudier quatre vitesses caractéristiques de 70, 60.50 et 40 milles à l'heure.Le nombre de cordes nécessaires au tracé de chacune de ces transitions sera toujours égal à l)c, le degré de Parc de cercle employé pour la courbe centrale.Par le dernier tableau représenté ci-dessus, on constate que, pour la vitesse de 70 milles à l'heure, on a dû adopter la corde de 100 pieds, pour celle de 60, la corde de 60 pieds, pour celle de 50, 40 pieds, et pour celle de 50 milles à l’heure, 20 pieds.Au fait, il ne faut pas oublier qu'il a fallu adopter une courbe, j'oserais dire composite, spirale-circonférence — spirale comme on pourra le voir sur le tableau ci-joint.Los arcs de transition de charpie extrémité du cercle doivent avoir des liens mathématiques avec Parc central et, de fait, ils en ont.C'est une chose qui ne peut guère s'expliquer par écrit dans un aussi bref article.De toutes ces considérations sont nés des tableaux qui paraissent compliqués, malgré leur simplicité, mais qui sont à la portée de tous ceux qui savent les quatre règles simples, après les avoir détachés de leur gangue mathématique, chose qui n'a rien que de très naturel pour les lecteurs de la Rev tu trimestrielle.Les uesoins de i.a mise en plan Comme il est virtuellement impossible à un ingénieur de parfaire sans plan un ouvrage quelconque, il a été nécessaire de réaliser une manière pratique de dessiner ces plans, dans le cas qui nous occupe.Notre petit nombre nous enlevant toute possibilité de trouver des collaborateurs essentiellement théoriques, il a fallu dépouiller les mathématiques de leur éeale théorique, pour mett re leurs services à la disposition des hommes de la pratique.De cette idée sont nées les tables dont il a été précédemment question, mais qui ne peuvent cesser de rester en partie théoriques comme les considérations abstraites dont elles viennent.Pour marcher davantage à l'unisson, avec la pratique les ingénieurs de la voirie ont imaginé des gabarits de celluloïde dont les LES MATH EM.ET LA COURBE DE TRANSITION ROUTIÈRE 1 63 00.6 OZZ ,ooc ¦ 0£ .L OO • L 09 Z ,oo o Z I czz ¦ de Marcel Bertrand, et la métallogénie française rejoint ainsi la tectonique, comme l'anglo-germanique rejoignait la pétrographie.Récemment, F.Blondel a recherché par la statistique les relations des gîtes minéraux 'combustibles et métaux) avec les grands tvnes tectoniques du monde, marquant ainsi, une fois de plus, la tendance de l'école française à travailler avec l'atlas plus qu'avec le microscope.Kxseigxemext i n gîte minéral est une formation rocheuse particulière, anormale, contenant en proportions relativement fortes des éléments extrêmement peu abondants dans les roches normales de l'écorce terrestre; comme formation rocheuse, son étude ressortit à la pétrographie, comme anormale à l’étude des phénomènes locaux qui l'ont créée.Mais un gîte minéral ne mérite ce nom que s'il est susceptible d'exploitation industrielle, s'j| f.st lln,.richesse, s'il « contient du dollar », de sorte que son étude ne peut négliger le point de vue économique.Dès lors, traitera-t-on la géologie appliquée comme une science naturelle pure, en faisant porter le cours sur la formation rocheuse, sa genese, ses caractères intrinsèques, ses relations avec la tectonique de la région où elle se trouve, quitte a mentionner, en fin de chapitres, les caractères économiques majeurs de la substance étudiée ! l.a tmitera-t-on au contraire comme une science économique, fondée sur l’interprétation des statistiques, tout en reservant de-ci dc-là un paragraphe honorable au vocabulaire géologique, afin rie justifier le titre?Les principes généraux qu’on a énoncés au chapitre précédent restent applicables ici: l'enseignement doit être scientifique.Mais l'énorme importance industrielle des matières premières minérales ne permet pas d etudier leurs gisements de façon purement désintéressée: un compromis s'impose donc entre les deux conceptions.A 1 ol\technique, nous avons placé le cours de géologie appliquée sous le signe du dollar, et 1 aspect économique de la question est présenté d'abord: historique, statistiques de production, marchés offrent matière à maintes observations intéressantes, renseignent déjà sur les régions productrices, sur quelques caractères des minerais et de leur traitement.Mais l'étude minéralogique, génétique, la description géologique des principaux gisements du monde LA GÉOLOGIE, M ATI EUE d’eNSEIG N EM EXT SUPÉRIEUR 1 SO n’en sont pas négligées pour cela; un important chapitre de généralités sur la métallogénie en pose les hases, et l'on traite ries différent s métaux dans un ordre qui* ce ehapit re impose logiquement.Il faut se bien persuader, en effet, que la géologie expliquant les faits de l'économique, est indispensable pour traiter sainement de la production minérale; bien ries erreurs grossières qu'on lit dans les traités d’économie politique auraient été évitées si l’auteur avait su ce qu'est, géologiquement, un bassin boitiller ou ferrugineux; s'il avait compris pourquoi il existe tant de petite* mines de zinc, de plomb, d’or, alors que la production mondiale de fer vient pres-qu’exclusivement de très grosses entreprises dont chacune produit de 500.000 à plusieurs millions de tonnes de minerai par an.Il est nécessaire, à l'économiste comme à l’ingénieur, de comprendre que si tel pays ou telle région du globe produit de l’étain ou du pétrole, ce n'est ni l'effet du hasard, ni la conséquence d’un stade plus élevé qu’ailleurs d’industrialisation, ni un bienfait de la domination de telle grande puissance, mais un résultat de la tectonique terrestre; de savoir qu’un minerai d’or se traite toujours à proximité immédiate de la mine, même si celle-ci se trouve en Sibérie ou au fond de la forêt congolaise, tandis que les gisements de fer et d’aluminium sont souvent à des milliers de kilomètres de leurs fours métallurgiques.L’étude purement géologique se charpente tout naturellement, au premier cycle, avec les matériaux de l’école française, tectonique et géologie régionale, qui s'accordent parfaitement, aux cadres posés par les statistiques et les données de répartition géographique: on n’approfondit pas la pétrographie.Vaut-il mieux que l’élève s’acharne à comprendre les relations entre les différents sulfures du minerai de Sudbury, ou qu’il sache piquer ce bassin sur une carte, et le situer économiquement parmi les producteurs de nickel et de cuivre du monde?Au second stade d’enseignement au contraire, où l’élève ne risque plus de trop mal juger de la valeur relative des aspects de la question, on pourra sans inconvénient revenir à l’étude pétrographique, le cours étant bien entendu accompagné de séances de laboratoire, consacrées en grande partie à l’examen des minerais en sections polies, au microscope métallo-graphique.Ln dernier mot sur ce chapitre: c’est toujours dans le cadre universel, et non pas dans le national -ou dans le provincial -qu'on place l'étude d'une substance; ce sont les statistiques internationales qu’on commente, et ce sont les principaux gisements du revue trimestrielle canadienne 190 monde, et non pas de la province de Québec, (pion décrit, sans doute est-il tout à fait naturel qu'un ingénieur canadien désire connaître les richesses de son pays, mais, pour ce faire, il n a pas besoin d'un cours: les publications gouvernementales et privées, statistiques et publicitaires, abondent, ainsi que les articles des revues techniques: il y trouvera des renseignements récents, de première main, et ne risquera pas ainsi de voir se cristalliser dans son esprit des phrases, des chiffres ou des mots appris par c2, 11,0, On, CO et N,.Cependant la combustion dans les moteurs à explosion s'effectue à une température tellement élevée cju'il faut prendre en considération l'influence de la dissociation.11 en résulte non seulement la présence de monoxyde de carbone, mais aussi d'hydrogène non brûlé.Nous généralisons donc le problème en considérant (pie les gaz brûlés se composent on volume de C20, HjO, S( )5, ( >2, CO, il; et N;.L'analyse des gaz étant faite à froid.1I20 se condense et SU; se dissout dans l'eau, formant l'acide, et on a finalement : CO, + CO ( ), N, = 100% (1) Nous rappelons que la composition en poids du combustible est: carbone C%, hydrogène H %, oxygène non combiné aux cendres O1",, humidité /s %, soufre S%, cendres A%.Désignons comme suit les pourcentages en volumes des composants des gaz.brûlés: < ¦( >.%% CO o% .( I; h% H, «% N 2 donc /.*j -j- è; -f o 4* "f » — 100' t 1') Ln nous reportant à l'article mentionné1, nous pouvons écrire qu après la combustion d une livre de combustible, on obt ient : pi3/lb de < 'O,, 12 X 100 (A-j + ki) < 12 X 100 I é, + /.,) pi3/lb de CO La Revue Tkimesthielle, no 112, page 380. REVUE TRIMESTRIELLE (AV A DIEN'.N'E 198 et a v o 0 = —— pi'VH) d’hydrogène en excès, " 12 X 100 At + /.v) 1 ' où on ;i désigné pur l’m le volume d’une molécule-livre de gaz.Kn désignant la partie brûlée d oxygène dans une livre de combustible par y— lb (“t la partie non brûlée par 1b, on a //' + U" = H II' et, en désignant — = y: //' = y H; //" = (1 — y) II.Le volume d hydrogène libre dans les gaz brûlés, d après la .CO* , , proportion — = -t— , est donc h h i c r./i H' * i2 x loo (t, +ir>',i,/lb ce (pii donne en poids: 2 Ch __ (H2.) poids = jr H: = ux 100 (/,t + L.) ’ Mais (Ho) poids Donc //" (1 —y) H : IÔ0 _ 100 ' Ch 1 — y ) // d'où 600 Ut + U ) îoo Ch 7 = 1 -.(2) 6// (At Av) On peut ainsi écrire que la dépense théorique d oxygène dans la combustion est: O* = V„ 32 X 100 ‘32 r (At + !-j As) 12 (At -j- A'o i S*y H — D -j- >s> 5 100 L 12 (At ^ l j/') • — (8//—O -f *8)1 pP/lb RO J A-,) 1 32 et le volume total d’oxygène fourni: ~C(ki + o + '-U'2 — 1 Dio, = ort 4- ;U„ - _rm 100 s II 12 (At 4- A‘2) ¦1/lb.+ - O 4- N) 1 • 132-J P1 ÉQUATION" GÉNÉRA USÉE DE COMBUSTION 199 Lu volume correspondant d'azote est N; = Ay Otot.D'où N'2 79 r ’(' (k\ +o -f '-.ki—'Ali) , (XH—O + S) 21X 100 |_ 12 i/q + k») 32 pi3/lb.De la proportion — = , on trouve l’équation de combustion : H L'i (1 4- a) À'i -f (0.605 + a) l.n — 0.185/i + o = 21 2.37 ou Il -r -r (o — O) .(3) ¦(4) Remarquons d’abord que la plus grande valeur de h correspond à la valeur II = zéro, donc y zéro, et alors: (h)max - 0 — (A'l + kî)max .*5> où on a mis h entre parenthèses pour souligner qu il ne - agit pas seulement d’une valeur singulière, mais d'une fonction qui exprime la dépendance entre la plus grande valeur possible de h et les plus grandes valeurs particulières de Ai et Ag.Les valeurs minima de /q, /q, o, h sont évidemment : /' 1 mm ^ 1min Omt„ h mm Zt IO.Pour trouver les valeurs maxima correspondantes, supposons d’abord la combustion complète du carbone.Dans ce cas /q = zéro, et on a: (1 4- a Ht — 0.185 h 4- o = 21 et hmar = b — himaz l'our o = zero.Donc le maximum particulier de bioxyde de carbone est: 21 (Ai rnn.-11 fl 1) .(61 et le maximum particulier d'hydrogène: _ 213 ' A mai 11 0.185 ( 1 4" a — 3) crr o .(7.1 200 REVUE TRIMESTRIELLE canadienne où on a désigné: // , ,, // rfi = 6 X 0.1 So — = LU- (8) 12') (5') Los équations (2) et (5) deviennent donc: 0.185/1 ^ £ (At + Av) (C) = 777 (/t-i + Pour h = o = zéro on a le maximum particulier de C()2: = 21 r.(1 a) La valeur maximum de 02 correspond à un très grand excès d'air, donc ki = At = h = zéro, et alors U .(9) ' 1 'mal 1 ( Pour représenter graphiquement I équation de combustion (3), écrivons : (1 + a) kl + O = 21 + 0.185 h — (0.605 + a) Av = y d'où i/ = u + (1 + a' A-, .Il()) < t y = 0.185 h -f- 21 — (0.605 + a) As (11) L'équation (8) peut être représentée en coordonnées rectangulaires i/, o sous forme d'une famille de lignes At = < 1 n a: max.= 6 U- (ki)mal = JL a-,)» ( 0.18o (ÿ)max = 21+3 (A’i), 202 REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE Dans cps équations, les lott res y, h et ki sont mises eutre parenthèses, car elles désignent les valeurs les plus grandes, mais variables, suivant la valeur de o.Au moyen de 1 équation (10), on élimine (At'imax i't on trouve l'équation de la ligne B( ' : (1 + a — P) (i/W + $0 = 21 (1 + a) .(lô) C"est donc une droite.Considérons maintenant la figure IC obtenue en plaçant à gauche de la figure le les coordonnées rectangulaires y, h et représentant l’équation (11) sous la forme d’une famille de lignes C = C“.Nous laissons au lecteur le soin de démontrer que toutes les lignes h* = C,e sont des droites parallèles et que la division pour ces lignes est proportionnelle.Le point Bj correspond à B; on a donc ici o = omai = 21, et par conséquent k\ = k« = h = zéro.Le point Ci correspond a C, 21 , .et on a ici klm I)ar ('onse- 1 -1- a ^ 1 quent, la valeur du maximum particulier de h, d’après (3): ' A m'Lr ’ I 21, 0.185 (1 (16) La ligne BiC’i correspond à k* = zéro; son équation est, d'après (11): (y)max - 0.185 h + 21 .(17) c'est donc une droite, où h est compris entre zéro et ihmax)i.Au point A, pour lequel k\ = 0 = y = zéro, correspond toute la longueur de la ligne Ai Aj.Au point A! (/.t = 0 = y = h = zéro) on a, d’après (3), la valeur du maximum particulier de /:2: (Aw).21 tU.OOô + ai (18) Au point A2, toujours pour k\ = 0 = y = zéro, on a les plus grandes valeurs (maximum maximorum) de /,'¦> et h.D’après (.5): (J mrixrTUii q j ^ - A’2m.7rm'LT.(10) On en déduit de (3), qui donne (U.605 + a)kimazmax — Q.lü5h9uamax = 21 .(20) EQUATION GEN' ERA USE F, DE COMBUSTION- 203 que et maxmax 0.1)00 .(21) 21 ; maxmax 0.185 (0.005 + a — 3> ¦22) I.ii ligne A,C, correspond ù la valeur o = zéro, de même que les lignes AiAj et A[D.Kn général, pour toute la surface du triangle AiAjD on a o = zéro.Sur la ligne A2C’i, la valeur de h est un maximum particulier, variable avec An.D’après (5) : a (J1 hmax — y (A'i + k^nar.(23) où, d’après (10), o étant égal à zéro: k i = y (1 + a) • La valeur de An sur cette ligne est également un maximum particulier variable avec h.D’après (11): ( Wma* 0.185 (h) m = 0 _ M, /.Mb h mur M,, h —J i M h — fi en remplaçant en fonction de M>„ il \ient: - -à- .A + B + C — D l^-Ji = 0 et /,= t[ —J l J2 El I)U - ' — H + (' + D — .1 h u —J i B+C+ D — A : —7- n —Ji fi ou 212 BEVUE T H IM EST HI ELLE CANADIENNE U = b P il,- Jo) X,.flX ~ El il/ Ji J El,2 h Çh(h — x,)dx (h — 22 + x2)1_l 1 Çl'xx.a Jo I, "J ' Eh- J O h P *J O I'i — —- (h — Xi) .h—Ji .1 ( h — X,)x,.(/x 1,1, f '» (k — X,) (Ix r,ir + f'1 X,.fix I f'1 (/i — Jî) Xi.'lx - o I ih h - fi - o Jih 15.— Équation des deux moments au droit des foyers de GAUCHE Nous avons: (h — fi) i 21i-fi w 7i-/i Mb-fi ' a h-fl h-ft (1 ,, (k — fi) I Mr.fi 72 - ->/ 6-;- + —1— 12 ‘2 u = 7*.fc • fa-/» c 7.’ /* Remplaçons .!/„ et .1/, dans l'équation générale des trois moments.A 7.-/._ .Vt./i L/.-/./.+ ii/6(/i + r) + h Çu Mt.xt.dx p* MjJhni J o E\I\h - ° EI,k yt.k Ah (h~h)' if, x,) h.ii.dx ËU7 llh(l-i — xL)dx EU.h La résultante Ft + Ft partagera la distance raison inverse de F\ à F».d\ -f- d‘2 en 216 HIC VU K THIMESTRIEM-K C AN A DI EN NE Soit vùi ot ni'» les distances do la directrice d’appui aux deux directrices latérales voisines de l’appui.dx l‘ll-2 — (ll\ + '/fjl- ' Vi-î = w; + fi!,) Fi + Fi Çtl h.Xi.dx , Çk h (F — x«) c J o Eh.h + EU.h h ¦_.) ils 1 P'xi.dx, 1 Çh (h — Xî)dx h Jol~7T^"h Jo ' I: —r t.t f~DirccT rices (a+éra l«£> Directrice d'oppui Diractricta latérales Fi-;, a Construction ^ntphujiio du foyer do miucho do la travoo do droite on fonction du foyer connu «le l'auclio do la travée do gaucho. KT U DK ANALYTIQUE KT GRAPHIQUE DK LA POUTRE CONTINUE 217 17.— Construction graphique d’un foyer de gauche pour UNE TRAVÉE A SECTION VARIABLE Soient deux travées consécutives h et B.d’une poutre continue et soit .1 le foyer de gauche connu de la travée de gauche, sur l'horizontale de référence.Traçons la directrice latérale de droite BC de la travée de gauche à la distance d[ de l'appui commun.Cette distance est donnée par le rapport: ',l (h — Ti) h.dx d\ = r r: /.Xt.d.r ~TT De même, la directrice latérale de gauche HI sera une verticale située à une distance d2 de l’appui commun, égale ù: T (/; —Xü)T2 .dx h dl = r r — x< ) dx F Partageons la distance CH entre les deux directrices latérales selon les valeurs v\U et vf: pour déterminer la position EF de la directrice d'appui.Ces deux valeurs ont été établies dans le paragraphe précédent.Du foyer connu .1.menons une droite quelconque .1 BE qui rencontre la directrice latérale de droite en B et la directrice d’appui en Du point B, dirigeons une droite par l’appui D vers la directrice de gauche de la travée de droite.Soit /, le point d’intersection de cette droite avec la directrice.Joignons les points E et I.La droite coupera l’horizontale de référence en un point G qui sera le foyer de gauche de la deuxième travée.Preuve de la construction graphique: La figure nous donne EF EF /// AF BC ' fii ’ Bd'"" AC GH AC + CF _ Fil—CH DH ,1C GH ’ CD CF ./ F H \ l)H 1 ~r • D V GH ') ' CD DH CD CF = vita F H = vil* DH = d‘, CD = d\ AC = h—/i — d\ GH = d!> — f« R K V U K T RIM K S T R 1 EI.L E < A X A T) IK N N K 21S /j = t leur utilisâtion, publie dans notre numéro île mars 1943.Certaines de ces erreurs ont rendu tout un paragraphe incompréhensible et nous vous demandons de les rectifier.Tout d’abord, à la cinquième ligne du deuxième paragraphe de la page 4.il faut lire Tunisie et Sénégal et non pas Tunésie et Sénéeal.Après correction, le troisième paragraphe de la page 17 se lira comme suit! Le rapport de la hauteur du cône de dénivellation, ainsi créé, au diamètre moyen de la base renversée est en raison directe de la perte de charge encourue par les eaux circulant dans la nappe; plus les terrains seront fins et argileux, plus haut sera le cône, moins étendue la base Inversement, pour le même débit, de gros sables et des graviers propres ne produiront qu’une légère dépression, se faisant sentir plus loin.5 J^ci conservation de l étain pour te^ort de guerre du Canada * I.a disette d'étain provoqué»' par la mainmise du Japon pur SOrr do l'approvisionnement mondial de ce métal a imposé à la compagnie de téléphone Bell l'adoption d'un nouveau type de soudure à l'usage de ses épisseurs de câble.La soudure se compose detain et de plomb servant à obturer les joints dans la gaine d'un câble téléphonique après l'épissure des fils intérieurs.Cotte soudure, la troisième mise en usage par la compagnie de téléphone Bell depuis le début de la guerre, montre l’utilité des substituts développés dans les laboratoires Bell en temps de paix.Alors que la soudure utilisée en 1039 ne contenait pas moins de 40rf d'étain, des ordonnances édictées par le contrôleur des métaux au cours de l'année dernière ont réduit successivement cette teneur à 38, à 30 et finalement à 20'j.A la suite de chaque modification tous les employés soudeurs ont dû subir un nouvel entraînement.Quand la première ordonnance restrictive fut émise en 1042, la compagnie de téléphone Bell ne se contenta pas d’adopter une soudure ne contenant que 38'7 d'étain, elle développa « l'épissure de la Victoire », méthode améliorée d'application de la soudure.Il trii:u.i; < an*ai: IX u ne xeponàe itntne ?diate âexa donnée à toutes les demandes concernant LA PRODUCTION ou L’ENTRETIEN DU MATÉRIEL Moteurs Diesel F M Balances Fairbanks Alimentateurs de charbcn Matériel de Transmission Machines-outils Chariots d'usine Pompes et Moteurs Matériaux réfractaires Accessoires d'automobile Matériel d’atelier Equipement pour les entrepreneurs Soupapes et accessoires pour systèmes de chauffage Appareils pour la manutention des matériaux Equipement de soudure et électrodes Fol/s pouvez toujours recourir au service Fairbanks- Morse, car il fonctionne dans tout le Canada.Quinze succursales situées aux points stratégiques entre Halifax et Victoria ainsi que des entrepôts établis aux endroits les plus com modes garantissant i' efficacité de notre service.Canadian Fairbanks * Morse 297, Boulevard Charest 980, rue Saint-Antoine 266, rue Sparks Québec, Que.Mortrcal, Que.Ottawa, Ont. — X REVUE TRIMESTRIELLE CANADIENNE Hommages à l'Association des Diplômés de Polytechnique PRICE BROTHERS & COMPANY, LIMITED QUÉBEC Fondée en I S1 7 Usines à pulpe et papier-journal : KENOGAMI - JONQUIERE - RIVERBEND Scieries : RIMOUSKI - PRICE - MATANE N/N/N/V* CHIMIE • PHYSIQUE • BACTERIOLOGIE Verrerie Pyrex.Outillage Précision.Étuves Freas et Thelco.Balances de précision Creusets et coupelles Battersea et D.F.C.Concasseurs, pulvérisateurs, fours Braun pour Laboratoires de Mines.Canadian Laboratory Supplies Ltd.296, RUE SAINT-PAUL OUEST, MONTRÉAL H ! 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