Québec science, 1 janvier 2000, Supplément 1

i- .Fascinantes et universelles, les mathématiques 0 ANNEE MONDIALE DES MATHÉMATIQUES 9 JL TC .v ^ ^ 7 -c- vT' 3.V, .r' r' ' > (L # // rvT iMlliftW' :Fy- l7^ A II >* ir#:l U4 1a ^ \ vV ' tj?:M ° ¦ - \ ft !jl V K #l" ifî> Y (ç> Centre l’Université Montréal O Z3£, Pour souligner l’Année mondiale des mathématiques Nous sommes très fiers au Centre de recherches mathématiques d’avoir été le maître d’œuvre de cet encart qui souligne l’Année mondiale des mathématiques.Ce recueil doit son existence au travail inspiré de Stéphane Durand.Vous y trouverez un panorama exceptionnel de cette discipline contemporaine, dont des collaborations de quelques-uns de nos plus grands experts.Vous en ressortirez convaincu que les mathématiques sont omniprésentes, et que leur grande aventure intellectuelle se porte mieux que jamais.Bonne lecture.Jacques Hurtubise, directeur Centre de recherches mathématiques, Université de Montréal Bell supporte ta recherche s ' Ilf /X Qu'est-ce que le an2'?Le Réseau de calcul et de modélisation mathématique est un regroupement unique de 7 centres (CERCA, CIRANO, CRIM, CRM, CRT, GERAD, INRS-Télécommunications) qui, en collaboration avec des universités québécoises et une vingtaine de partenaires industriels, répondent aux besoins de l'industrie dans les domaines associés au calcul et à la modélisation mathématique.Une quinzaine de champs d'intérêt sont à l'heure actuelle abordés au sein de trois thèmes majeurs : la gestion du risque, le traitement de l'information, traitement d'images et calcul parallèle, les transports et télécommunications.Une entente entre le rcm2 et Bell Canada a permis de mettre en place le Laboratoire Universitaire Bell (LUB) qui touche aux innovations dans le domaine de la recherche et de l’application du multimédia.Grâce à des fonds du CRSNG, des projets de recherche soumis par les membres sont financés par le biais d'un concours annuel.Adresse postale : rcm2, Université de Montréal, C.P.6128, Succursale Centre-ville, Qc, H3C 3J7 T (514) 343 7501 - F (514) 343 2254 Courriel : rcm2@crm.umontreal.ca www.crm.umontreal.ca/rcm2/ ommaira Centre de recherches mathématiques de l’Université de Montréal, mai 2000 Avant-propos Histoire 350 ans de mathématiques au Québec par Yves Gingras Entrevue Robert Langlands : un explorateur de l’abstrait propos recueillis par Stéphane Durand O Nature Du léopard au tournesol par Stéphane Durand Santé Mathématiciens du cœur par Félix Légaré Enchères Qui dit mieux ?par Jacques Robert Design Les maths en forme par Michel Delfour 14 Cryptograph i e Les nombres et leurs secrets par Claude Crépeau BlOLOGIE La théorie des nœuds par Christiane Rousseau I O Informatique Ordinateurs du futur par Charles Allain EconomiE La formule de Black et Scholes par René Garcia Quel est le lien entre un escargot et le nombre (l+v5)/2 ?4 Le nombre (1+V5)/2 est le nombre d'or qu'on retrouve un peu partout dans la nature.La spirale de la coquille du nautile est une construction géométrique basée sur ce nombre.Même Stradivarius Ta utilisé pour construire ses fameux violons.18-19 Enseignement Les affiches gagnantes Les maths : délices de l’Année mondiale des ou terreur ?mathématiques par Vincent Sicotte Santé 28 Recherche Les applications médicales Les grands courants de la des fractales recherche de pointe par Fahima Nekka par François Lalonde MétéorologiE Imagerie Les mathématiques La nouvelle imagerie du temps médicale par Michel Béland par Jean-Marc Lina Le VIVANT 0 Histoire Biomathématiques Le théorème de Fermat par Jean-Marc Fleury par Henri Darmon Informatique Des ordinateurs intelligents par Yoshua Bengio T RANSPORTS Tous les chemins mènent aux.maths par Patrice Marcotte et François Soumis Physique La fascinante efficacité des mathématiques par Stéphane Durand Infographie Les maths derrière l’image par Pierre Poulin Gestion Les mathématiques au service des affaires par Maurice Boyer ANNÉE MONDIALE DES MATHÉMATIQUES 3 Avant - propos nAn 2000 Année mondiale des mathématiques Sous l’égide de l’Unesco S Etant donné l’importance de plus en plus grande des mathématiques dans tous les domaines scientifiques, le Centre de recherches mathématiques (CRM) de l’Université de Montréal, en collaboration avec le magazine Québec Science, a voulu profiter de l’Année mondiale des mathématiques pour sensibiliser le public aux applications de plus en plus nombreuses de celles-ci dans la vie de tous les jours, ainsi qu’aux diverses facettes de la recherche mathématique au Québec.Il est fascinant de découvrir que les mathématiques sont partout dans la nature : de la forme des coquilles d’escargot aux motifs du pelage des animaux (léopard, tigre, etc.), en passant par la forme des alvéoles d’abeilles et le nombre des pétales de fleurs.Cette affinité des mathématiques avec la nature est très certainement la raison de leur si extraordinaire efficacité en sciences et en technologie.Certes, il est bien connu que les mathématiques sont essentielles dans certaines disciplines, notamment en physique, mais il est beaucoup moins connu qu’elles jouent un rôle de plus en plus important dans toutes sortes de nouveaux domaines : biologie et botanique, comme nous venons de le dire, mais aussi médecine, finance, droit, économie, linguistique, etc.Nous avons donc voulu faire découvrir ces nouvelles percées, en insistant particulièrement sur les domaines d’application moins connus et a priori surprenants.Nous décrirons par exemple : ¦ Comment les mathématiques expliquent que certains animaux sont tachetés tandis que d’autres sont rayés.¦ Comment les mathématiques permettent de prévenir et contrôler les dérèglements cardiaques et les crises d’épilepsie.¦ Comment l’analyse mathématique en imagerie médicale permet de caractériser les tumeurs cancéreuses.¦ Comment la théorie mathématique des nœuds permet d’analyser le comportement des virus dans les cellules.¦ Comment les mathématiques servent à gérer la circulation automobile.¦ Comment les mathématiques permettent de faire la lecture automatique de codes postaux ou de chèques écrits à la main.¦ Comment, dans certaines situations, les mathématiques sont en train de remplacer les avocats.Etc.Le langage mathématique permet aussi de faire des liens entre des phénomènes apparemment sans relation.Ainsi, on découvre aujourd’hui, grâce aux mathématiques, des liens entre la forme d’une fougère et les fluctuations de la bourse, ou encore entre la fréquence des éruptions volcaniques, la propagation des épidémies, l’évolution des populations animales et la fréquence des battements cardiaques, entre autres.Le langage mathématique permet donc de faire ressortir une unité dans le fonctionnement de la nature.De plus, contrairement aux différentes langues, les mathématiques sont les mêmes dans toutes les cultures.Et ce n’est pas une simple question d’influence réciproque.Souvent, par exemple, des mathématiciens de différentes cultures ont fait des découvertes similaires indépendamment les uns des autres.Les mathématiques ne sont pas non plus qu’un simple outil, elles jouent souvent un rôle fondamental.En effet, elles peuvent conduire à des solutions que l’intuition ordinaire n’aurait pu imaginer ou, plus important encore, elles permettent de définir des concepts que le langage ordinaire ne permet pas.Ce dernier point peut sembler surprenant, mais cela est tout à fait commun en physique.En effet, pour comprendre rinfiniment petit et l’infiniment grand — deux domaines inaccessibles à nos sens —, le langage de la vie courante n’est plus adapté, car la logique en jeu n’est plus celle de la vie quotidienne.Il faut alors recourir à un autre langage, et celui des mathématiques est parfaitement adapté.Finalement, contrairement à ce qu’on pense souvent, les mathématiques ne sont pas austères et arides.Elles peuvent être difficiles d’accès, certes, mais elles sont pleines de richesses et de surprises.En fait, ce qui motive les mathématiciens purs, c’est la beauté des structures qu’ils découvrent.Voilà donc le défi de ce cahier, sensibiliser à l’omniprésence, l’universalité et l’extraordinaire efficacité du langage mathématique, en faisant découvrir le dynamisme et la diversité de la recherche mathématique au Québec.Stéphane Durand Responsable du projet Le dossier Math2000 est publié par le Centre de recherches mathématiques de l'Université de Montréal C.P.6128, Suce.Centre-ville Montréal (Québec) H3C 3J7 Tél.: (514) 343-7501 Direction Stéphane Durand ?Gouvernement du Québec Ministère de la Culture et des Communications Réalisation Québec Science 3430, rue Saint-Denis, bureau 300 Montréal (Québec) H2X3L3 Tél.: (514) 843-6888 Téléc.: (514) 843-4897 courrier@quebecscience.qc.ca www.CyberSciences.com Directeur général : Michel Gauquelin Direction de projet : Charles Allain Adjoint à la rédaction : Vincent Sicotte Révision linguistique : Luc Asselin Direction artistique : François Émond Diffusion et promotion : Hélène Côté Illustration de la page couverture : Philippe Béha Photos/illustrations: Philippe Béha, Michel La rose, Pierre Saint-Jacques nce CEGEP de Jonquière I I lesirtsn - \ m : - m ';L:, “Utiles hljifc, ¦ r «rafàjj H L7>t Vÿ Sw is.kJS % >t, ES 4 ANNÉE MONDIALE DES MATHÉMATIQUES HISTOIRE jes 35Q_ans Dans leurs aspects les plus élémentaires (arithmétique et géométrie), les mathématiques sont à la base de la mesure et des échanges.Aucune société ne peut vivre sans elles.AU QUEBEC fDSiS- ;; ’’f'¦ I [lltllk-UVrt ¦ ai I lipiiBOipl®! or-T- t Ctteim #^11 WP' 0 5lP .v ne ^ ipnP0 !0‘f' li#1 c’W :/¦ Jü’1 par Yves Gingras TRAITE Une fonction essentiellement utilitaire Le Québec ne fait pas exception.Dès les débuts de la Nouvelle-France, les relevés cartographiques exigeaient des connaissances géométriques.Alors que la colonie s’organise et qu’est créé le Collège des Jésuites en 1635, leur enseignement se met en place.C’est à Martin Boutet que revient l’honneur d’être le premier professeur de mathématiques : il enseigne « tout ce qu’il est nécessaire de sçavoir des mathématiques pour ce pars » et instruit « la plupart des capitaines qui conduisent des vaisseaux en ce pais ».Le développement du commerce nécessite la connaissance de la règle de trois, du calcul des proportions et de l’intérêt (simple et composé).Ces méthodes seront présentées pour la première fois par un arpenteur, Jean-Antoine Bouthillier, qui publie en 1809 un Traité d’arithmétique à l’usage des écoles, qui sera réédité au moins jusqu’au milieu du XIXe siècle.On lui incorporera ultérieurement un Traité d’algèbre d’une dizaine de pages, publié en 1836 sous la plume d’un étudiant en droit, Jos Laurin.Les besoins des marchands et de la vie quotidienne ne demandaient pas de connaissances plus avancées à l’époque.Tout au long du XIXe siècle et d’une bonne partie du XXe siècle, les mathématiques feront essentiellement partie de l’enseignement général.La parution d’un Traité élémentaire de calcul différentiel et intégral au XIXe siècle, attribué à l’abbé Langevin, professeur au Séminaire de Québec et qui deviendra le premier évêque de Rimouski, reflète probablement davantage l’intérêt personnel du professeur que le contenu réel du programme d’enseignement de l’époque.De même, la publication en 1866 par l’architecte Charles Baillargé d’un Nouveau traité de géométrie et de trigonométrie rectiligne et sphérique de 900 pages, ne semble pas répondre davantage à une demande précise, bien qu’il soit dit à D'ARITHMETIQUE L-USAOX DES ECOLES.r- «a» Axroon aovrmixujL l’usage des arpenteurs, architectes, ingénieurs et professeurs.Plus original, mais toujours à visée pratique, est son Tableau stéréomé-trique utilisé pour mesurer des volumes de forme complexe et qui obtiendra de nombreux prix et médailles dans plusieurs pays.L’essor de la recherche En fait, ce n’est qu’à la fin de la Seconde Guerre mondiale que l’on assiste au développement de la recherche mathématique objective au sein des universités canadiennes et québécoises.La tenue en juin 1945 à Montréal du premier congrès canadien de mathématiques peut être vue comme l’acte de naissance de la discipline au Canada.Cet événement, auquel participèrent de grands mathématiciens comme John von Neumann, Garrett Birkhoff et Claude Chevalley, convaincra les mathématiciens canadiens de l’importance de se doter d’une voix collective.La Société mathématique du Canada qui se crée au même moment servira de porte-parole auprès des autorités afin de faire valoir l’importance des mathématiques pour la société.Bien que les universités de Toronto — et dans une certaine mesure l’Université McGill — avaient mis en place les bases de la recherche en mathématiques avant les universités francophones, la croissance véritable de la recherche se fera au cours années 60 grâce surtout à l’impulsion de Maurice L’Abbé.Ce dernier, qui avait obtenu son doctorat à l’Université de Princeton, crée en 1962 à l’Université de Montréal le Séminaire de mathématiques supérieures, et en 1968 le Centre de recherche mathématiques (CRM).Grâce à ces initiatives, l’Université de Montréal prend le pas sur McGill et les autres universités québécoises en matière de recherche en mathématiques dès le début des années 70.Concentrés d’abord au sein des départements, les mathématiciens essaiment, au cours des années 70, vers les départements d’informatique, à l’École des Hautes études commerciales et à l’École polytechnique de Montréal.Les développements fulgurants des capacités de calcul des ordinateurs multiplient les domaines d’application des mathématiques : à la physique viennent s’ajouter ceux de la biologie, du transport et des finances, sans parler des diverses sciences appliquées.Aujourd’hui, les politiques de la recherche encouragent le regroupement des chercheurs.Les mathématiciens n’échappent pas à la tendance; à l’initiative du CRM, l’Institut des sciences mathématiques (ISM), qui regroupe les chercheurs des six principales universités québécoises (Concordia, Laval, McGill, Montréal, Sherbrooke et UQAM), est créé en 1991.Depuis la fin de la Seconde Guerre mondiale, les mathématiques ont trouvé au Québec comme ailleurs des conditions institutionnelles favorisant des recherches fondamentales de plus en plus abstraites.Ce sont ces travaux qui, en retour, rendent aujourd’hui possibles de nouvelles applications, tant il est vrai qu’il faut d’abord se détourner du réel pour mieux l’appréhender.Pour en savoir plus Luc Chartrand, Raymond Duchesne, Yves Gin-gras, Histoire des sciences au Québec, Montréal, Boréal, 1987.Société mathématique du Canada, 1945-1995, Volume 1 : Les mathématiques au Canada, sous la direction de Peter Filmore, Ottawa, 1995.L’auteur Membre du Centre interuniversitaire de recherche sur les sciences et la technologie (CIRST) et professeur d’histoire à l’Université du Québec à Montréal (UQAM), Yves Gingras s’intéresse tout particulièrement à l’histoire et à la sociologie des sciences.ANNÉE MONDIALE DES MATHÉMATIQUES 5 ENTREVUE Robert La Robert Langiands est assurément l’un des grands mathématiciens du XXe siècle.Né en 1936 en Colombie-Britannique, il travaille aujourd’hui au très prestigieux Institute for Advanced Study à Princeton au New Jersey.Il visite régulièrement le Centre de recherches mathématiques (CRM) de l’Université de Montréal.Ses travaux de recherche ont initié ce qu’on appelle maintenant